- •РАсчет Замкнутой системы iiIпорядка
- •Структурная схема
- •1.Составить математическую модель сау
- •2.Получить дифференциальное уравнение относительно выхода по задающему и возмущающему воздействиям
- •3.Определить передаточную функцию системы.
- •3.3. Передаточную функцию замкнутой системы по ошибке при действии задающего воздействия и равенстве 0 возмущающего воздействия
- •3.4. Передаточную функцию замкнутой системы по ошибке при действии возмущающего воздействия и равенстве 0 задающего воздействия
- •4.Вычислить временные характеристики
- •4.2.С помощью обратного преобразования Лапласа найти переходную и весовую функции
- •5.Частотные характеристики
- •5.1.Афчх
- •5.4.Логорифмитическая амплитудно-частотная характеристика
- •6.Произвести анализ устойчивости сау:
- •6.1.Критерий Вышнеградского
- •6.2.Критерий Рауса-Гурвица
- •6.3.Критерий Михайлова
- •6.4.Критерий Найквиста
- •Определение устойчивости по лачх
5.4.Логорифмитическая амплитудно-частотная характеристика
ЛАЧХ определяется за формулой :
L(ω) = 20 * lg(A(ω))
L(ω) = 20*lg() = 20*lg(7,5) – 10*lg()
ω, с-1 |
L(ω), Дб |
0.01 |
3,86*10-5 |
0.1 |
3,8*10-3 |
1 |
0,4 |
10 |
-14,13 |
100 |
-72,1 |
График ЛАЧХ
6.Произвести анализ устойчивости сау:
6.1.Критерий Вышнеградского
Передаточная функция замкнутой системы равна:
W(s) = , тогда характеристическое уравнение
= 0 <=> , где
а0=0,03 ; а1=0,4 ; а2=1 ; а3=7,5
а0 , а1 , а2 , а3 > 0 - выполняется
а2*а1 > а3*а0 т.е. 0,4 > 0,225
Чтоб судить об устойчивости системы за критерием Вышнеградского, необходимо, выполнялись 2 пункта, что выполняется в данном случае.
Поэтому, за данным критерием система устойчива.
6.2.Критерий Рауса-Гурвица
Система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения – отрицательны. Тогда, в соответствии с критерием Рауса – Гурвица, для того, чтоб действительные части корней хар-го уравнения
b0*xm+b1*xm-1+b2*xm-2+…+bm-1*x+bm = 0
с действительными коэффициентами и b0 > 0 , были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все определители Δ1, Δ2, … Δm :
= 0
b0=0,03 ; b1=0,4 ; b2=1 ; b3=7,5
Δ3 = = 1,31
Δ2 = == 0,4 + 7,5*0,03 = 0.625
Δ1 = 0,4
Т.к. условие устойчивости b0, b1, b2, b3 > 0 выполняется и Δ1, Δ2, Δ3 > 0 , то система устойчива
6.3.Критерий Михайлова
Характеристический полином замкнутой САУ :
D(s) =
Подставим S=j*ω и определим действительную и мнимую части :
D(j*ω) = ==
= ,тогда
U(ω) = Re D(j*ω) =
V(ω) = Im D(j*ω) =
ω |
U(ω) |
V(ω) |
0 |
7,5 |
0 |
1 |
7,2 |
0,97 |
2 |
5,9 |
1,76 |
3 |
3,9 |
2.19 |
5 |
-2.5 |
1.25 |
∞ |
-∞ |
-∞ |
Годограф Михайлова
Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь при ω=0 на вещественной положительной полуоси, с ростом частоты ω от 0 до ∞ обходил последовательно в положительном направлении n квадрантов комплексной плоскости.
В нашем случае годограф начинается положительной вещественной полуоси, и проходит последовательно 3 квадранта и в последнем уходит в бесконечность, следовательно система устойчива
6.4.Критерий Найквиста
Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой системы :
Wp(s) =
Выясняем устойчивость разомкнутой системы по критерию Гурвица, согласно с которым необходимо, чтобы все коэффициенты харак-го уравнения были положительны и а1*а2 – а3*а0>0.
Где
а1= 0,4 ; а2=1 ; а3=0 ; а0=0,03
т.к. 0,4*1 – 0,03*0 > 0 , то замкнутая система устойчива
Найдем АФЧХ разомкнутой системы:
W(j*ω) = = =
= =
W(j*ω) =
U(ω) = Re W(j*ω) =
V(ω) = Im W(j*ω) =
ω |
U(ω) |
V(ω) |
0 |
-∞ |
-∞ |
1 |
-2,73 |
-6,6 |
5 |
-0,75 |
0,01 |
10 |
-0,154 |
0,076 |
20 |
-0,017 |
0,023 |
∞ |
→ 0 |
→ 0 |
Годограф Найквиста
Для того, чтобы САУ, устойчивая или нейтральная в разомкнутом состоянии, была устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы, при изменении частоты ω от 0 до ∞, не охватывал точку с координатами {-1,j0} на комплексной плоскости.
В нашем случае система устойчива в разомкнутом состоянии и годограф АФЧХ не охватывает точку {-1,j0}, следовательно, система устойчива.