5.4.Логорифмитическая амплитудно-частотная характеристика

ЛАЧХ определяется за формулой :

L(ω) = 20 * lg(A(ω))

L(ω) = 20*lg() = 20*lg(7,5) – 10*lg()

ω, с-1	L(ω), Дб
0.01	3,86*10-5
0.1	3,8*10-3
1	0,4
10	-14,13
100	-72,1

График ЛАЧХ

6.Произвести анализ устойчивости сау:

6.1.Критерий Вышнеградского

Передаточная функция замкнутой системы равна:

W(s) = , тогда характеристическое уравнение

= 0 <=> , где

а₀=0,03 ; а₁=0,4 ; а₂=1 ; а₃=7,5

1. а₀ , а₁ , а₂ , а₃ > 0 - выполняется

2. а₂*а₁ > а₃*а₀ т.е. 0,4 > 0,225

Чтоб судить об устойчивости системы за критерием Вышнеградского, необходимо, выполнялись 2 пункта, что выполняется в данном случае.

Поэтому, за данным критерием система устойчива.

6.2.Критерий Рауса-Гурвица

Система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения – отрицательны. Тогда, в соответствии с критерием Рауса – Гурвица, для того, чтоб действительные части корней хар-го уравнения

b₀*x^m+b₁*x^m-1+b₂*x^m-2+…+b_m-1*x+b_m = 0

с действительными коэффициентами и b₀ > 0 , были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все определители Δ₁, Δ₂, … Δ_m :

= 0

b₀=0,03 ; b₁=0,4 ; b₂=1 ; b₃=7,5

Δ₃ = = 1,31

Δ₂ = == 0,4 + 7,5*0,03 = 0.625

Δ₁ = 0,4

Т.к. условие устойчивости b₀, b₁, b₂, b₃ > 0 выполняется и Δ₁, Δ₂, Δ₃ > 0 , то система устойчива

6.3.Критерий Михайлова

Характеристический полином замкнутой САУ :

D(s) =

Подставим S=j*ω и определим действительную и мнимую части :

D(j*ω) = ==

= ,тогда

U(ω) = Re D(j*ω) =

V(ω) = Im D(j*ω) =

ω	U(ω)	V(ω)
0	7,5	0
1	7,2	0,97
2	5,9	1,76
3	3,9	2.19
5	-2.5	1.25
∞	-∞	-∞

Годограф Михайлова

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь при ω=0 на вещественной положительной полуоси, с ростом частоты ω от 0 до ∞ обходил последовательно в положительном направлении n квадрантов комплексной плоскости.

В нашем случае годограф начинается положительной вещественной полуоси, и проходит последовательно 3 квадранта и в последнем уходит в бесконечность, следовательно система устойчива

6.4.Критерий Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой системы :

W_p(s) =

Выясняем устойчивость разомкнутой системы по критерию Гурвица, согласно с которым необходимо, чтобы все коэффициенты харак-го уравнения были положительны и а₁*а₂ – а₃*а₀>0.

Где

а₁= 0,4 ; а₂=1 ; а₃=0 ; а₀=0,03

т.к. 0,4*1 – 0,03*0 > 0 , то замкнутая система устойчива

Найдем АФЧХ разомкнутой системы:

W(j*ω) = = =

= =

W(j*ω) =

U(ω) = Re W(j*ω) =

V(ω) = Im W(j*ω) =

ω	U(ω)	V(ω)
0	-∞	-∞
1	-2,73	-6,6
5	-0,75	0,01
10	-0,154	0,076
20	-0,017	0,023
∞	→ 0	→ 0

Годограф Найквиста

Для того, чтобы САУ, устойчивая или нейтральная в разомкнутом состоянии, была устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы, при изменении частоты ω от 0 до ∞, не охватывал точку с координатами {-1,j0} на комплексной плоскости.

В нашем случае система устойчива в разомкнутом состоянии и годограф АФЧХ не охватывает точку {-1,j0}, следовательно, система устойчива.