Міністерство освіти і науки України

Національний технічний університет України

«Київський політехнічний інститут»

Контрольна робота

по курсу «Теорія автоматичного управліня»

Варіант № 5

Виконав:

Студент IІI курсу ФІОТ

.

Перевірив:

.

Київ – 2011

Линейная САУ «разомкнутый принцип управления»

К_m

M_H

Во

+

y(t)

К_пе

К_пр

К₀

К_р

G(t)

Структурная схема

Задание:

1. Построить математическую модель САУ.

2. Составить дифференциальное уравнение САУ по задающему и возмущающему воздействиям.

3. Определить передаточные функции САУ по входному сигналу G(t) и возмущению М_н(t).

3.1.Определить передаточную функцию по входу от задающего воздействия при равенстве нулю возмущающего воздействия при нулевых начальных условиях (ННУ).

3.2.Определить передаточную функцию по входу от возмущающего воздействия при равенстве нулю задающего воздействия при нулевых начальных условиях (ННУ).

3.3. Определить передаточную функцию по входу от возмущающего воздействия при G(t)=0 и при нулевых начальных условиях когда канал компенсации подключен.

3.4.Определить закон управления.

4.Определить временные характеристики.

4.1.Рассмотреть САУ при М_H(t)=0, а входное воздействие G(t)=1(t) – скачок, Y(0)=0, а первая производная Y'(0)=0.

4.2.Рассчитать и построить переходную функцию (САУ).

4.3. Рассчитать функцию веса (САУ)..

5. Рассчитать и построить частотные характеристики.

5.1.Амплитудно-фазочастотная характеристика (АФЧХ), когда М_Н(t)=0.

5.2.Амплитудно-частотную характеристику (АЧХ).

5.3.Фазочастотную характеристику (ФЧХ).

5.4.Логорифмитическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ).

Кпе	Кпр	Ку	Ко	Кр	Ту	То	Bo
1,25	2	4	1	0,75	0,1	0,3	1

Перерисуем схему с передаточными функциями звеньев:

. М_н(s)

W₃

W₂

W₄

W₆

W₁

А D

G(s) + В С Y(s)

W₈

W₅

W₇

где

W₁= K_m ; W₂= B₀ ; W₃= К_пе ; W₄= К_пр ; W₅= ; W₆= K₀ ; W₇= ; W₈= K_p

общий коэффициент усиления:

K = К_пе* К_пр*K_y* K₀* K_p = 1.25*2*4*1*0.75=7,5

1. Построить математическую модель САУ.

Запишем математическую модель системы, когда на нее действует задающий, возмущающий сигналы и когда канал компенсации замкнут:

Y(s) = С-D = [(G(s)* W₃+ М_Н(s)*W₁)* W₄*W₅*W₆- М_Н(s)*W₂]*W₇*W₈ = = [G(s)* W₃*W₄*W₅*W₆ + М_Н(s)*W₁* W₄*W₅*W₆ - М_н(s)* W₂]*W₇*W₈ =

= [G(s) * + М_Н(s)* ( - B₀)] *

Найдем при каком значении К_m будет полностью компенсироваться возмущающее воздействие:

- B₀ = 0 => К_m = = = 0.125

Если ключ разомкнут, то канал компенсации равен 0, т.е. М_Н(s)*W₁* W₄*W₅*W₆ =0, поэтому далее рассматривается математическая модель при разомкнутом ключе:

Y(s)= (G(s)* W₃*W₄*W₅*W₆ - М_н(s)* W₂)*W₇*W₈

2. Составить дифференциальное уравнение САУ по задающему и возмущающему воздействиям.

Дифференциальное ур-е САУ по задающему воздействию :

где, М_Н(t)=0 => М_н(s)* W₂*W₇*W₈ = 0 ,

следовательно Y(s)= G(s)* W₃*W₄*W₅*W₆*W₇*W₈ = G(s) * ,

тогда

(Т_у*s+1)*(T_o*s+1)*Y(s)=G(s)*К_пе*К_пр*К_у*К_о*К_р

(Т_у*Т_о*s² + (T_y+T_o)*s + 1)*Y(s) =G(s)*К_пе*К_пр*К_у*К_о*К_р

Т_у*Т_о*Y(s)*s² + (T_y+T_o)*Y(s)*s + Y(s) = G(s)*К_пе*К_пр*К_у*К_о*К_р

Учитывая, что S = , имеем обратное преобразование

Т_у*Т_о*у``(t) + (T_y+T_o)*y`(t) + y(t) = g(t)*К_пе*К_пр*К_у*К_о*К_р

Подставив значения, получим:

0,03*y``(t) + 0,4*y`(t) + y(t) = 7,5*g(t)

Дифференциальное ур-е САУ по возмущающему воздействию:

где, g(t)=0 => G(s)* W₃*W₄*W₅*W₆*W₇*W₈ = 0

следовательно Y(s) =- М_н(s)* W₂*W₇*W₈ = -M_H(s) *

тогда

Т_о*Y(s)*s +Y(s) = -M_H(s)*B_o*K_p

или

0,3*y`(t) + y(t) = -0.75* M_H(t)

3. Определить передаточные функции САУ по входному сигналу G(t) и возмущению М_н(t).

3.1. Определить передаточную функцию по входу от задающего воздействия при равенстве нулю возмущающего воздействия при нулевых начальных условиях.

По условию М_Н(t)=0

тогда

Y(s)= G(s)* W₃*W₄*W₅*W₆*W₇*W₈

и

передаточная функция по входу от задающего воздействия:

W_З(s) = = W₃*W₄*W₅*W₆*W₇*W₈ = =

3.2. Определить передаточную функцию по входу от возмущающего воздействия при равном нулю задающего воздействия при нулевых начальных условиях.

По условию g(t)=0,

тогда

Y(s)= -М_н(s)* W₂*W₇*W₈

и передаточная функция по входу от возмущающего воздействия:

W_возм = - = =

3.3. Определить передаточную функцию по входу от возмущающего воздействия при G(t)=0 и при нулевых начальных условиях, когда канал компенсации замкнут.

Y(s) = [G(s)* W₃*W₄*W₅*W₆ + М_Н(s)*W₁* W₄*W₅*W₆ - М_н(s)* W₂]*W₇*W₈

По условию g(t)=0,

тогда

Y(s) = [W₁* W₄*W₅*W₆ - W₂]* М_Н(s)*W₇*W₈

и передаточная функция по входу от возмущающего воздействия:

W_возм = =(W₁* W₄*W₅*W₆ - W₂)* W₇*W₈ =( =

4. Определить временные характеристики.

4.1.Рассмотреть САУ при М_H(t)=0, а входное воздействие G(t)=1(t) – скачок, y(0)=0, а первая производная y'(0)=0.

Y(s)= G(s)* W₃*W₄*W₅*W₆*W₇*W₈ = G(s) *

(Т_у*s+1)*(T_o*s+1)*Y(s)=G(s)*К_пе*К_пр*К_у*К_о*К_р

(Т_у*Т_о*s² + (T_y+T_o)*s + 1)*Y(s) =G(s)*К_пе*К_пр*К_у*К_о*К_р

Т_у*Т_о*Y(s)*s² + (T_y+T_o)*Y(s)*s + Y(s) = G(s)*К_пе*К_пр*К_у*К_о*К_р

Учитывая, что S = , имеем обратное преобразование

Т_у*Т_о*у``(t) + (T_y+T_o)*y`(t) + y(t) = g(t)*К_пе*К_пр*К_у*К_о*К_р

Подставив значения, получим:

0,03*y``(t) + 0,4*y`(t) + y(t) = 7,5*g(t)

4.2.Рассчитать и построить переходную функцию.

Исходя из условия п.п. 4.1. М_Н(t)=0 и g(t)=1(t) , и нулевые начальные условия, то рассмотрим дифференциальное ур-е САУ по задающему воздействию:

0,03*y``(t) + 0,4*y`(t) + y(t) = 7,5*g(t)

Учитывая, что S = , а y(t) Y(s) , g(t) G(s) , то

0,03*Y(s)*s² + 0,4*Y(s)*s + Y(s) = 7,5*G(s) , т.к. g(t)=1(t), а изображение 1(t) и учитывая, что при этом на Y(s) накладывается обязательство быть изображением переходной функции, запишем:

0,03*H(s)*s² + 0,4*H(s)*s + H(s) = 7,5* => H(s) =

Для того, чтоб узнать переходную функцию, воспользуемся формулой разложения Карсона – Хевисайда:

h(t) = ,

где

С(s) = 7,5

D`(s) = ()` = 0,09*s² + 0,8*s + 1

Найдем корни хар-ого уравнения:

= 0

s₁=0 ,

= 0

s₂= = ; s₃ = =

тогда за формулой разложения Хевисайда:

h(t) = =

h(t) =

t	h(t)
0	-0,038
1	5,73
2	7,17
3	7,44
6	7,5
10	7,5

График переходной функции

4.3. Рассчитать функцию веса.

Функция веса равна первой производной от переходной функции:

w(t) = h`(t)

h(t) =

тогда,

h`(t) = 16,28 * – 22.32 *

следовательно

w(t) = 16,28 * – 22.32 *

5.Частотные характеристики (рассчитать и построить).

5.1.Амплитудно-фазочастотная характеристика (АФЧК), когда М_Н(t)=0.

По условию М_Н(t)=0, тогда рассматриваем передаточную функцию по задающему воздействию:

W_З(s) =

Положим s = j*ω ,

W(j*ω) = =

== = =

=

АФЧХ системы:

W(j*ω) =

Откуда,

U(ω) = ReW(j*ω) = - действительная частотная характеристика

V(ω) = ImW(j*ω) = – мнимая частотная характеристика

ω	U(ω)	V(ω)
0	7,5	0
1	6.6	-2.72
5	0,46	-3.7
10	-0,75	-1.5
50	-0,09	-0,026
∞	→ 0	→ 0

График АФЧХ

5.2.Амплитудно-частотную характеристику

АЧХ системы определяется за формулой:

А(ω) =

A(ω) = =

A(ω) =

ω	A(ω)
0	7,5
1	7.15
2	6.3
5	3.72
10	1.67
50	0.098
∞	→ 0

График АЧХ

5.3.Фазочастотную характеристику

ФЧХ системы определяется за формулой:

φ(ω) = arctg ()

φ(ω) =

ω	φ(ω)
0	0
1	-0,39
4	-1,26
5	-1,44
8	1.29
30	0,43
∞	→ 0,039

График ФЧХ

5.4.Логорифмитическая амплитудно-частотная характеристика

ЛАЧХ определяется за формулой :

L(ω) = 20 * lg(A(ω))

L(ω) = 20*lg() = 20*lg(7,5) – 10*lg()

ω, с-1	L(ω), Дб
0.01	17,5
0.1	17,497
1	17,084
10	4,49
100	-32,1
1000	-72

График ЛАЧХ