- •010700 Физика
- •1. Цели освоения дисциплины
- •2. Место дисциплины в структуре ооп бакалавриата
- •3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины
- •4. Структура и содержание дисциплины (модуля)
- •5. Содержание разделов (тем) дисциплины
- •Раздел 1. Понятие линейного векторного пространства.
- •Раздел 2. Общие системы линейных уравнений. Однородные системы.
- •Раздел 3. Линейная зависимость и независимость векторов. Ранг и базис векторов.
- •Раздел 4. Матрицы.
- •Раздел 5. Определители.
- •Раздел 6. Элементы векторной алгебры в аналитической геометрии.
- •Раздел 7. Координатный метод в геометрии.
- •Раздел 8. Прямая и плоскость.
- •Раздел 9. Кривые и поверхности второго порядка.
- •Раздел 10. Подпространства линейного пространства. Изоморфизм векторных пространств.
- •Раздел 11. Линейные операторы.
- •Раздел 12. Евклидово пространство (вещественное и комплексное).
- •Раздел 13. Линейные операторы, действующие в евклидовом пространстве.
- •Раздел 14. Билинейные и квадратичные формы.
- •Раздел 15. Элементы теории групп.
- •6. Образовательные технологии:
- •7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
- •I семестр
- •II семестр
- •Вопросы к коллоквиумам
- •I семестр
- •II семестр
- •Примерные варианты контрольных работ
- •I семестр (3 варианта из 6)
- •II семестр (2 варианта из 10)
- •8.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)
- •9. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
- •2.Тематические тесты алгебре и аналитической геометрии
- •1. Матрицы и определители Тест1.
- •2. Системы линейных уравнений Тест 1
- •3. Векторная алгебра Тест 1
- •4. Прямая линия на плоскости Тест 1
- •1. Укажите, какие из следующих уравнений определяют прямую линию:
- •Прямая в пространстве Тест 1
- •Лабораторная работа
- •Ход выполнения работы
- •11. Вывод уравнения прямой по двум точкам
- •1V. Вывод уравнений прямой линии в пространстве
- •V. По результатам проведенного исследования заполните следующую таблицу. Различные уравнения прямой на плоскости и в пространстве
- •Дидактические материалы для организации самостоятельной работы студентов физического факультета по дисциплине « Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1. Литература, рекомендуемая для изучения дисциплины
- •1.1. Основная литература
- •1.2. Дополнительная литература
- •2. Содержание курса линейной алгебры и аналитической геометрии
- •3. Задания для самостоятельной работы на первый семестр
- •3.1.Темы для самостоятельного изучения
- •3.2. Вопросы к коллоквиуму
- •3.3. Индивидуальная домашняя контрольная работа №1
- •3.4. Индивидуальная домашняя контрольная работа №2
- •3.5.Примерные варианты контрольной работы по аналитической геометрии Варианты № 1
- •Вариант №2
- •Вариант №3
- •4. Задания для самостоятельной работы на второй семестр
- •4.1. Темы для самостоятельного изучения
- •4.2. Вопросы к коллоквиуму
- •4.3. Индивидуальное домашнее задание № 3
- •5.4. Примерные варианты 20 - минутной самостоятельной работы по теме "Линейные преобразования"
- •5.5 Примерные варианты контрольной работы по линейной алгебре
- •6. Программа экзамена по курсу "аналитическая геометрия и линейная алгебра"
- •I семестр
- •II семестр
5.4. Примерные варианты 20 - минутной самостоятельной работы по теме "Линейные преобразования"
Вариант № 1
1. Матрица является матрицей перехода от базиса В к базису С. Найти координаты вектора в В, если его координаты в С равны (-1,2).
2. Дать определение инвариантного подпространства линейного оператора .
3. Матрица оператора имеет вид: . Указать инвариантные подпространства этого оператора.
4. Записать характеристическое уравнение линейного оператора с матрицей . Найти его корни.
Вариант № 2
1. Дать определение линейного отображения .
2. Дать определение матрицы линейного оператора.
3. Проверить, является ли вектор собственным вектором линейного оператора с матрицей
.
4. Приводится ли матрица к диагональному виду ?
5.5 Примерные варианты контрольной работы по линейной алгебре
Вариант № 1
1. Не вычисляя канонического базиса, найти жорданову форму следующей матрицы
2 .Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на векторы .
3.Привести к каноническому виду квадратичную форму .
Вариант №2
1. Не вычисляя канонического базиса, найти жорданову форму следующей матрицы
2 .Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на векторы .
3.Привести к каноническому виду квадратичную форму .
6. Программа экзамена по курсу "аналитическая геометрия и линейная алгебра"
I семестр
1. Понятие вектора в геометрии. Линейные операции над векторами и их свойства.
Понятие линейного векторного пространства. Примеры линейных векторных пространств. Пространство .
-
Понятие системы линейных уравнений и ее решения. Совместные и несовместные системы. Определенные и неопределенные системы. Элементарные преобразования системы. Равносильные системы.
-
Правило Жордана-Гаусса исключения переменной из всех уравнений системы кроме одного. Приведение системы к единичному базису. Решение системы линейных уравнений.
-
Однородная система линейных уравнений и свойства ее решений. Связь решений неоднородной системы и соответствующей ей однородной.
-
Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов. Примеры.
-
Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Линейная зависимость векторов в .
-
Понятие базиса системы векторов. Теорема о двух различных базисах одной и той же системы векторов. Координаты вектора в данном базисе.
-
Ранг системы векторов, его свойства. Размерность векторного пространства.
-
Понятие ранга матрицы. Решение задач по отысканию ранга матрицы.
-
Операции над матрицами, их свойства. Размерность пространства однотипных матриц размера .
-
Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение с помощью обратной матрицы.
-
Понятие определителя квадратной матрицы. Минор и алгебраическое дополнение. Правило Лапласа разложения определителя по элементам какой-либо строки (столбца).
-
Свойства определителей, методы их вычисления.
-
Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений ее элементов. Правило Крамера решения системы линейных уравнений.
-
Скалярное произведение векторов, его свойства и приложения в геометрии и физике.
-
Векторное произведение векторов, его геометрический смысл, свойства, приложения.
-
Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл, свойства, приложения. Двойное векторное произведение.
-
Понятие аффинной и прямоугольной декартовой системы координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Геометрический смысл координат точки в прямоугольной декартовой системе координат.
-
Полярная система координат, ее связь с прямоугольной декартовой. Сферические и цилиндрические координаты.
-
Различные уравнения прямой линии на плоскости и в пространстве: параметрические уравнения по точке и направляющему вектору, по двум точкам, канонические уравнения.
-
Общее уравнение прямой на плоскости, геометрический смысл его коэффициентов в прямоугольной декартовой системе координат. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
-
Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору в прямоугольной декартовой системе координат.
-
Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расположение прямой относительно осей координат.
-
Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
-
Различные уравнения плоскости: параметрические по точке и двум направляющим векторам, трем точкам, общее уравнение плоскости.
-
Взаимное расположение двух и трех плоскостей. Прямая как пересечение двух плоскостей.
-
Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.
-
Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Расстояние от точки до плоскости в пространстве.
-
Расстояние от точки до прямой в пространстве. Угол между плоскостями.
-
Эллипс, его каноническое уравнение и свойства.
-
Гипербола, ее каноническое уравнение, свойства. Асимптоты гиперболы.
-
Парабола, ее каноническое уравнение и свойства.
-
Поверхности вращения: эллипсоид, гиперболоиды, параболоид.
-
Канонические уравнения поверхности второго порядка и их исследование методом сечений.
-
Конические и цилиндрические поверхности.