4.3. Индивидуальное домашнее задание № 3

1. Является ли линейным подпространством соответствующего век­торного пространства каждая из следующих совокупностей векторов:

   2. Все векторы п - мерного векторного пространства, координаты которых - целые числа?

2. Все векторы плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей координат Ох и Оу?

1.3. Все векторы плоскости, концы которых лежат на одной прямой (начало любого вектора предполагается совпадающим с началом координат)?

4. Все векторы плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой?

5. Все векторы трехмерного пространства, концы которых не лежат на данной прямой?

6. Все векторы плоскости, концы которых лежат в первом четверти системы координат?

7. Все векторы из , координаты которых удовлетворяют уравнению ?

8. Все векторы из , координаты которых удовлетворяют уравнению ?

9. Все векторы, являющиеся линейными комбинациями данных векторов из ?

10. Все п - мерные векторы, у которых первая и последняя координаты равны между собой.

11. Все п - мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны нулю.

12. Все п - мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны между собой.

13. Множество всех симметричных матриц порядка я относительно обычных операций сложения матриц и умножения их на действительное число ?

14. Множество всех невырожденных матриц порядка п, если сумма их определена так: . а произведение на число -обычным образом ?

15. Множество всех кососимметричных матриц, т.е. матриц удовлетворяющих условию относительно обычных операций сложения матриц и умножения их на число?

16. Множество кососимметричных матриц, если их сумма и произведение определены так, как в задаче 1.14?

17. Множество решений любой системы однородных линейных уравнений с п переменными ранга 2?

18. Множество всех четных функций, заданных на [-1, 1] , если суммой двух функций a=f(t), b=g(t) считается функция f(t)g(t) , а произведение на число определяется обычным образом?

19. Множество всех нечетных функций, заданных на [-1, 1], если сумма двух функций и произведение на число определены так же, как в задаче 1.18.

20. Множество всех дифференцируемых функций с обычными операциями сложения и умножения их на действительное число, если суммой двух функций считается функция f(t)g(t)?

21. Множество диагональных квадратных матриц порядка n.

22. Множество функций монотонно возрастающих на [а, b].

23. Множество функций монотонных на [a, b].

24. Множество вырожденных квадратных матриц порядка n.

25. Множество функций на [a, b] таких, что f(a)=0.

2. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений однородной системы, основная матрица которой имеет вид:

2.1. 2.2 . 2.3.

;

2.4. 2.5 . 2.6.

_{2.7. 2.8 . 2.9.}

2.10. 2.11. 2.12.

2.13. 2.14 . 2.15.

2.16. 2.17. 2.18.

2.19. 2.20. 2.21.

2.22. 2.23. 2.24.

2.25.

.

3.Найти координаты вектора в базисе , если он задан в базисе :

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6

7. 3.8.

3.9. 3.10.

3.11. 3.12.

3.13. 3.14.

3.15. 3.16.

17. 3.18.

3.19. 3.20

3.21. 3.22.

3.23. 3.24.

3.25.

4. Пусть . Являются ли линейными следующие преобразования? Если являются, то записать матрицу преобразования.

4.1.;

;

.

4.2.;

;

.

4.3. ;

;

.

4.4. ;

;

.

4.5. ;

;

.

4.6. ;

;

.

7. ;

;

.

4.8. ;

;

.

4.9. ;

;

.

4.10. ;

;

.

11. ;

;

.

4.12. ;

;

.

4.13. ;

;

.

4.14. ;

;

.

4.15. ;

;

.

16. ;

;

.

16. ;

;

.

16. ;

;

.

16. ;

;

.

16. ;

;

.

16. ;

;

.

16. ;

;

.

16. ;

;

.

16. ;

;

.

16. ;

;

.

5. Пусть , , . Найти

5.1.; 5.2. ; 5.3. ; 5.4. ; 5.5. ;

5.6.; 5.7.; 5.8.; 5.9. ; 5.10. ;

5.11. ; 5.12.; 5.13.; 5.14. ; 5.15.;

5.16.; 5.17. ; 5.18.; 5.19.; 5.20.;

5.21. ; 5.22.; 5.23.; 5.24.; 5.25..

6.Найти матрицу линейного оператора в базисе , где , , , если она задана в базисе :

7. Найти матрицу, область значений и ядро линейного оператора А. Определить ранг и дефект:

1. .

2. 

3. 

4. , где и - заданные векторы в .

5. , где - заданный вектор в .

6. - многочлены степени .

7. - многочлены степени , А - оператор дифференцирования.

8. - многочлены степени .

9. А - зеркальное отражение относительно плоскости .

10. А - зеркальное отражение относительно плоскости .

11. А - зеркальное отражение относительно плоскости .

12. А - зеркальное отражение относительно плоскости .

13. А - зеркальное отражение относительно плоскости

14. А - зеркальное отражение относительно плоскости .

15. А - зеркальное отражение относительно плоскости .

16. А - проектирование на плоскость .

17. А - проектирование на плоскость .

18. А - проектирование на плоскость .

19. А - проектирование на плоскость .

20. А - проектирование на плоскость .

21. 

22. А – зеркальное отражение относительно плоскости

23. А – зеркальное отражение относительно плоскости

24. А – проектирование на плоскость

25. А – проектирование на плоскость

8. Найти собственные векторы линейного оператора. Привести матрицу линейного оператора к нормальному виду (форме Жордана).

8.1. ; 8.2. ; 8.3. ;

8.4. ; 8.5. ; 8.6. ;

8.7. ; 8.8. ; 8.9. ;

8.10. ; 8.11. ; 8.12. ;

8.13. ; 8.14. ; 8.15. ;

8.16. ; 8.17. ; 8.18. ;

8.19. ; 8.20. ; 8.21. ;

8.22. ; 8.23. ; 8.24. ;

8.25. .