2.2 Рівняння еліптичного типу

Якщо рівняння (1.1) є рівнянням еліптичного типу, то існують такі функції та , що і дане рівняння зводиться до канонічної форми

. (2.18)

Опишемо процедуру знаходження цих функцій.

Спочатку формально, як і у попередньому випадку, приводимо рівняння (1.1) до вигляду

(2.19)

При цьому нові змінні та будуть комплексно спряженими

, , (2.20)

оскільки диференціальні рівняння характеристик (2.15) та (2.16) у випадку, що розглядається, мають вигляд

, . (2.21)

Таким чином, рівняння еліптичного типу має лише уявні характеристики.

Виконаємо нову заміну змінних

, , (2.22)

внаслідок якої рівняння (2.19), а отже і рівняння (1.1) зводиться до шуканої канонічної форми з точністю до зміни позначень

.

Приклад 2.3 Звести до канонічного вигляду рівняння

Розв’язування

Для визначення типу рівняння складемо його дискримінант. Оскільки

, то дане рівняння є рівнянням еліптичного типу.

Диференціальні рівняння характеристик та їх загальні інтеграли такі:

1) ; ; , звідси ;

2) ; , звідси .

Отримані змінні комплексні, тому згідно з (2.22) знаходимо остаточну заміну змінних

, .

Згідно з (2.4) маємо

,

.

Підставимо знайдені похідні у наше рівняння, маємо

,

.

2.3 Рівняння параболічного типу

Якщо рівняння (1.1) є рівнянням параболічного типу, то функції та підбираються такі, що , і дане рівняння зводиться до канонічної форми

. (2.23)

Опишемо процедуру знаходження цих функцій.

Знаходимо функцію , яка є розв’язком рівняння

(2.24)

Як і у випадку гіперболічного рівняння припускаємо, що та розв’яжемо рівняння (2.24) відносно . При цьому отримуємо лише одне рівняння характеристик

, (2.25)

оскільки .

Нехай є загальний інтеграл рівняння (2.25), звідки . Інша змінна вибирається довільним чином за умови, що і перетворює на нуль коефіцієнт .

Приклад 2.4 Звести до канонічного вигляду рівняння .

Розв’язування

Для визначення типу рівняння складемо його дискримінант. Оскільки

, то дане рівняння є рівнянням параболічного типу.

Складемо згідно з (2.25) диференціальне рівняння характеристик

, , звідки .

Рівняння для другої незалежної змінної можна взяти у вигляді , оскільки за такого вибору якобіан

відмінний від нуля в усіх точках площини , крім точок осі і згідно з (2.7) перетворює на нуль коефіцієнт .

Згідно з (2.4) маємо

;

;

.

Підставимо знайдені похідні у наше рівняння, маємо

.

Розглянемо декілька прикладів на зведення рівнянь до канонічного вигляду в системі аналітичних обчислень Maple

Зауваження: В системі Maple визначник старших коефіцієнтів обчислюється за формулою

- рівняння параболічного типу

- рівняння еліптичного типу

- рівняння гіперболічного типу.

Приклад 2.5 Звести до канонічного вигляду рівняння

.