5.7 Виробнича функція для поліномів Лежандра

Функція

(5.45)

називається виробничою функцією для поліномів Лежандра, тобто ці поліноми є коефіцієнтами розвинення цієї функції в ряд за додатними степенями :

. (5.46)

У даному випадку, – комплексна змінна, , – параметр.

Розглянемо деякі приклади використання виробничої функції:

,

звідки знаходимо

звідки

,

,

звідки знаходимо

Із останньої формули, зокрема, випливає, що .

5.8 Рекурентні формули для поліномів Лежандра

Маючи виробничу функцію, легко отримати рекурентні співвідношення між поліномами Лежандра.

Продиференціюємо рівність (5.45) за , отримаємо

,

або

. (5.47)

Звідки

. (5.48)

Внесемо всі доданки лівої частини рівності (5.48) під один знак суми, маємо

. (5.49)

Рівність (5.49) можлива лише тоді, коли коефіцієнти при степенях рівні нулю. Звідки

,

оскільки ,

(5.50)

Формула (5.50) – шукане рекурентне співвідношення.

Отримаємо друге рекурентне співвідношення. Розглянемо похідну

(5.51)

З іншого боку,

. (5.52)

Порівнюючи (5.51) та (5.52), отримаємо

. (5.53)

Підставимо (5.46) у (5.53), отримаємо ланцюжок рівностей

.

Звідки отримуємо друге рекурентне співвідношення

(5.54)

Приклад 5.1 Задача про обтікання кулі потоком ідеальної рідини.

Як відомо з гідродинаміки, потенціал швидкостей ідеальної рідини задовольняє рівняння Лапласа

,

д е – вектор швидкості частинки рідини.

Нехай рідина рухається відносно кулі радіуса із швидкістю у напрямку від’ємної осі (рис. 5.1)

Рисунок 5.1 – Обтікання кулі потоком рідини

За означенням потенціалу швидкості , нормальна компонента швидкості прилеглої до поверхні кулі частинки рідини

.

Застосуємо сферичну систему координат

Представимо потенціал швидкостей як суму

,

де – потенціал потоку за відсутності кулі, – потенціал збуреного потоку. Зрозуміло, що

,

де – радіус-вектор точки, – меридіанний кут. Для потенціалу маємо таку задачу:

(5.55)

. (5.56)

Рівняння Лапласа в сферичній системі координат таке

(5.57)

Із міркувань симетрії зрозуміло, що не залежить від кута , тобто . Тому можна відкинути останній доданок у рівності (5.57) та шукати розв’язок задачі (5.55), (5.56) у вигляді

.

Оскільки змінні в рівнянні (6.56) можна відокремити, отримуємо два рівняння

(5.58)

(5.59)

Рівняння (5.59) відноситься до типу рівнянь Ейлера. Шукаємо його розв’язок у вигляді ; тоді характеристичне рівняння таке

(5.60)

З іншого боку, розв’язками рівняння (5.58) є поліноми Лежандра

,

при цьому . Дійсно, зробимо заміну незалежної змінної в рівнянні (5.58) та позначимо . Тоді

Таким чином, замість рівняння (5.58) маємо

,

або, враховуючи, що

(5.61)

Рівняння (5.61) є рівнянням Лежандра, його розв’язками, обмеженими у точках , є поліноми Лежандра , причому .

Таким чином, із (5.60) за теоремою, оберненою до теореми Вієта, знаходимо .

Розв’язок зовнішньої задачі, обмежений на нескінченності, відшукується у вигляді ряду

.

Підставимо цей ряд у (6.56)

Враховуючи, що , отримуємо

Тому шуканий потік визначається потенціалом швидкості

.

Таким чином, потенціал обтікання кулі поступовим потоком

.

Відмітимо, що з крайової умови (5.56) та значення першого полінома Лежандра можна було одразу здогадатись, що розв’язок такий

.

Детальне дослідження наведено з метою формування навичок розв’язування задач з більш складними крайовими умовами у сферичній системі координат.