Розв’язування

Задамо рівняння.

> Eqn:=diff(u(x,t),t$2)-a^2*diff(u(x,t),x$2)=0;

Для розв’язання цього рівняння використовуємо процедуру pdsolve() і одержимо наступне.

> pdsolve(Eqn);

В даному випадку функції і є довільними двічі диференційованими функціями.. Таким чином, загальний розв’язок рівняння Eqn подається у вигляді суперпозиції двох функцій з відповідними аргументами. Відповідно, щоб повністю розв’язати задачу, необхідно визначити вид цих функцій. Функції визначаються із початкових умов. Але перш за все задаємо u ( ) як функцію двох параметрів x і t.

> u:=unapply(rhs(%),x,t);

Далі використовуємо те, що похідна по часу від функції в початковий момент дорівнює нулю.

Зауваження: похідна по другому аргументу функції обчислюється за допомогою оператора диференціювання з позначенням в квадратних дужках індексу змінної, по якій обчислюється похідна (D[2](u)).

> D[2](u)(x,0)=0;

Одержане таким чином диференціальне рівняння будемо розв’язувати відносно функції .

> dsolve(%,_F1(x));

Бачимо, що функції і з точністю до знака аргументу і константи _С1 співпадають. Константу можна прирівняти до нуля, а функцію _F1 позначити як F.

> _F1:=F;

> _F2:=x->F(-x);

Відповідно, шукати розв’язок рівняння потрібно в такому вигляді:

> u(x,t);

> u(x,0);

> f:=x->sin(x);

> F:=1/2*f;

> a:=1;

> u(x,t);

Тепер за допомогою процедури animate() відтворимо процес коливання струни (рис. 2.1-2.2).

>plots[animate](u(x,t),x=-10..10,t=0..15, view=-2..2, scaling= unconstrained, numpoints=100,titlefont=[HELVETICA,BOLD,12]);

К оливання струни. Момент часу t=1c.

Коливання струни. Момент часу t=4c.

Питання для самоперевірки

1. Як визначається тип лінійного диференціального рівняння другого порядку у частинних похідних?

2. Запишіть канонічну форму рівняння гіперболічного типу.

3. Запишіть канонічну форму рівняння еліптичного типу.

4. Запишіть канонічну форму рівняння параболічного типу.

5. Виведіть диференціальні рівняння характеристик для рівнянь гіперболічного типу.

6. Виведіть диференціальні рівняння характеристик для рівнянь еліптичного типу.

7. Виведіть диференціальні рівняння характеристик для рівнянь еліптичного типу.

8. Опишіть процедуру заміни змінних при зведенні до канонічного вигляду диференціальних рівнянь гіперболічного типу.

9. Опишіть процедуру заміни змінних при зведенні до канонічного вигляду диференціальних рівнянь еліптичного типу.

10. Опишіть процедуру заміни змінних при зведенні до канонічного вигляду диференціальних рівнянь параболічного типу.

11. Покажіть, що лінійне диференціальне рівняння другого порядку у частинних похідних в кожному класі можна звести до найпростішого (канонічного) вигляду.

12. Що називається методом характеристик?

13. Виведіть формулу Д’Аламбера.

14. Запишіть формулу Д’Аламбера для хвильового рівняння виду з початковими умовами ,.

15. Дайте пояснення фізичного змісту загального розв’язку хвильового рівняння.

16. Розкажіть про коректність постановки задач математичної фізики.

17. Що таке початкові та крайові умови?

18. З чим пов’язана необхідність у формулюванні окрім рівнянь додаткових умов? Наведіть приклад.

19. Що називається задачею Коші? Для якого типу рівнянь ставиться задача Коші? Наведіть приклад.

20. Що називається крайовою задачею? Для якого типу рівнянь ставиться крайова задача? Наведіть приклади.

21. Що називається змішаною задачею? Для якого типу рівнянь ставиться змішана задача? Наведіть приклади.