Вопрос 6: Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского.

Пусть E - векторное пространство над полем R. Отображение

которое каждым двум элементам ставит в соответствие действительное число, обозначаемое символом , называется скалярным произведением, если и выполняются следующие аксиомы:

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

Векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством.

Неравенство Коши-Буняковского

Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением . Пусть  — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны

Вопрос 7 Матрицы. Основные типы матриц.

Матрица- прямоугольная числовая таблица, содержащая m строк и n столбцов, если матрица составляется из коэффициентов взятых из системы линейно-алгебраических уравнений (СЛАУ),То она называется матрицей СЛАУ

Типы матриц:

Квадратная(матрица размера an,nxn), диагональная (квадратная матрица у которой все элементы вне главной диагонали равны 0), единичная(диагональная матрица с единицами на главной диагонали),нулевая(матрица, элементы которой равны 0),симметрическая, столбцевая(матрица состоит из одного столбца),строчная(матрица состоит из одной строки),вырожденная (если определитель = 0).

Вопрос 8 Действия над матрицами.

Сложение и вычитание матриц - одно из простейших действий над ними, т.к. необходимо сложить или отнять соответствующие элементы двух матриц. Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковых размеров, т.е. тех, у которых одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.

Умножение матрицы на число - процесс, заключающийся в умножении числа на каждый элемент матрицы.

Умножение двух матриц

Пусть A и B согласованные матрицы. Преобразованием матриц является матрица C , такая что элементы C ik = сумме произведений соответствующих элементов i строки матрицы A на элементы k столбца матрицы B.

Возведение в степень

Возводить в степень можно только квадратную матрицу,чтобы матрицу A возвести в степень n , нужно числа A11 * A11, потом полученную матрицу снова умножить на A и т д. n-1 раз

Транспонирование

Операция транспонирования и умножение матриц связаны след. образом:

Вопрос 9 Свойства операций над матрицами .

A+B=B+A; (перестановочность или коммутативность операции сложения

(A+B)+C = A+(B+C); (ассоциативность или сочетательное свойство)

A+O = O+A =A;

A+(-A)=(-A)+A=O.

;

-A=(-1)A.

Вопрос 10 Обратная матрица.Критерий существования обратной матрицы.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

. Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если D = 0.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А^-1, так что В = А^-1. Обратная матрица вычисляется по формуле

,                                              

где А _{i j} - алгебраические дополнения элементов a _{i j}.