22

пилот-проект

Методические указания

к выполнению самостоятельных работ и лабораторных работ

по курсу «Математические методы моделирования»

Часть 2. «Решение уравнений и систем уравнений»

для студентов специальности ГИСИТ, 2 курс

Разработчик: Манакова Н.О.

Харьков, 2010

Харьков, 2010 1

Самостоятельные работы. 3

Самостоятельная работа №2. Решение систем линейных уравнений. 3

Примеры выполнения практических заданий. 3

Контрольные вопросы и задания. 5

Индивидуальные задания. 6

Самостоятельная работа №3. Решение нелинейных уравнений. 10

Уточнение корней методом половинного деления (дихотомии) 10

Метод Ньютона для решения систем нелинейных алгебраических уравнений. 11

Индивидуальные задания. 13

Лабораторные работы. 16

Лабораторная работа №5. Реализация методов решения уравнений и их систем средствами VBA. 16

Лабораторная работа №6. Решение уравнений средствами Excel. 23

Подбор параметра 23

Поиск решения 24

Самостоятельные работы. Самостоятельная работа №2. Решение систем линейных уравнений. Примеры выполнения практических заданий.

1. Осуществить замену зависимой переменной s₂ на независимую t_r в системе:

.

Решение. Решение задачи достигается с помощью одного шага жордановых исключений.

Исходная таблица жордановых исключений в условиях примера имеет вид:

	t1	t2	t3
s1=	2	1	6
s2=	3	4	2

Переменные, участвующие в транспозиции, определяют направляющую строку и направляющий столбец. Они в таблице выделены серым цветом.

Для осуществления шага жордановых исключений необходимо вычислить элементы новой таблицы жордановых исключений в соответствии с правилами.

Так, новый главный элемент . Новые элементы направляющей строки, кроме главного, есть ; .Новый элемент направляющего столбца . Остальные новые элементы вычисляются по четвертому правилу жордановых исключений:

;.

Результирующая таблица жордановых исключений для рассматриваемого примера имеет вид:

	t1	t2	s2
s1=	11	13	-3
t3 =	1,5	2	-0,5

Результирующей таблице соответствует новая (искомая) система линейных уравнений:

2. Решить систему линейных уравнений

относительно переменных х₁ и х₃.

Решение. Решить систему линейных уравнений относительно переменных х₁ и х₃ — это значит выразить переменные х₁ и х₃ через оставшиеся переменные х₂ и х_4. Это можно сделать с помощью жордановых исключений. Для этого введем вектор независимых переменных , каждая составляющая которого принимает только нулевое значение, и независимую переменную t, которая принимает единственное значение, а именно 1. Тогда заданную систему линейных уравнений можно представить в следующем виде:

.

Осуществим два шага жордановых исключений, в которых зависимую переменную s₁ заменим на независимую х₁, в s₂ — на х₃. Получим искомое решение:

.

Проверим правильность решения с помощью подстановки в исходную систему какого-либо частого решения. Для получения частного решения присвоим независимым переменным х₂ и х₄ какие-либо значения и подставим их в последнюю полученную систему для вычисления зависимых переменных х₁ и х₃. Например, пусть х₂=2 и х₄=2. Тогда х₁=0,5∙2-0,5∙2-1=-1, х₃=0,5∙2+2,5∙2-2=4.

Найденное частное решение превращает уравнение системы в тождества:

-1=0,5∙2-0,5∙2-1=-1.

4=0,5∙2+2,5∙2-2=4.

Следовательно, общее решение найдено правильно.

3. Решить систему линейных уравнений методом жордановых исключений :

Решение. Для решения задачи представим матрицу А как матрицу коэффициентов системы в следующем виде:

.

Преобразуем в систему с искомой обратной матрицей А^-1. Для этого в систем осуществим последовательно три шага жордановых исключений (в общем случае n шагов), каждый раз выбирая в качестве главного элемента один из диагональных, и только диагональных. Цель жордановых исключений — заменить каждую зависимую переменную s_i на независиую t_i (). Последовательность замен несущественна, важно, что каждая i используется только единожды.

После проведения указанных шагов жордановых исключений получим новую систему линейных форм:

,

в которой матрица коэффициентов представляет собой искомую матрицу, обратную по отношению к заданной.

Для проверки правильности найденного решения необходимо перемножить исходную и искомую матрицы:

Поскольку произведением этих матриц является единичная матрица, найденная матрица согласно определению является обратной, то есть решение найдено верно.