2.2 Методические указания.

Задачу целесообразно решать, используя комплексную форму записи сопро- тивлений и всех искомых величин. Расчёт начинается с определения эквивалентного сопротивления цепи относительно зажимов источника.

Для этого необходимо записать каждое из заданных сопротивлений в алгеб- раической и показательной форме:

₁

^X1

_{2 2 ±j arctan jϕ}

1

^{Z 1 = R1 + jωL − j} _ωC

и аналогично

^{= R}1 ^{+ j(X}L ^{− X}C ^{= R}1 ^{± jX}1^{) = R}₁ ^{+ X}₁ ^e

Z ₂ = R₂ ± jX₂ = Z₂e^±jϕ2

^{R1 = Z}1^{e± 1}

^Z ₃ ^{= R}₃ ^{± jX}₃ ^{= Z}₃^e±jϕ3

Эквивалентное комплексное сопротивление

_{Z 2Z 3}

_±jϕэк

^Z

^Z _эк ^{= Z} ₁ ⁺

2

Ток на входе цепи

+ Z ₃

^{= Z}эк^e

_E

_jψi

^{= R}эк ^{+ jX}эк

^Z

^I ₁ ⁼

эк

Напряжение на разветвлении

^{= I}1^{e 1}

_{Z 2Z 3}

_jϕab

^Z

^U _ab ^{= I} ₁

2

+ Z ₃

^{= U}ab ^e

Токи во втором и третьем сопротивлениях

I ₂ =

^U ab

Z ₂

, I ₃ =

^U ab

Z ₃

, а также U ₁ = I ₁ · Z ₁

Для проверки баланса мощностей сравнивается полная мощность источника, вычисленная в комплексной форме:

1

где I rr

rr

^{S = P ± jQ = E · I}

_ист ист ист ₁

— сопряжённое комплексное значение найденного тока источника, с

мощностью во всех трёх сопротивлениях цепи

_{rr rr rr}

^S_потр ^{= U} ₁ ^{· I}₁ ^{+ U} _ab ^{· I} ₂ ^{+ U} _ab ^{· I} ₃ ^{= P}потр ^{+ jQ}потр

Та же проверка баланса мощностей может быть выполнена сравнением

_{Pист = EI1 cos ϕэк = Pпотр = I} 2 _{R1 + I} 2_{R2 + I} 2_R3,

_{Qист = EI1 sin ϕэк = Qпотр = ±I} 2_{X1 ± I} 2_{X2 ± I} 2_{X3 ,}

где положительные значения реактивной мощности соответствуют индуктив- ным, а отрицательные — ёмкостным значениям реактивных сопротивлений ветвей.

Векторные диаграммы токов и напряжений, совмещённые на одном чертеже, строятся на комплексной плоскости с указанием выбранных масштабов для токов и напряжений.

2.3 Электрическая схема согласно заданным элементам и условным обозначениям.

Рисунок 10 — Схема цепи согласно заданным элементам и условным значениям.

2.4 Токи и напряжения во всех ветвях цепи.

2.4.1 Теоретическая часть.

Вычислим сопротивления групп элементов, приняв ω = 2Πf :

Z ₁ = jωL₁-j

Z₂= R₂+jωL₂-j

Z₃= jωL₃-j

Тогда полное сопротивление цепи будет равно

Z=Z₁+

Напряжение на участке 1

U₁=i1 Z₁

Напряжение на участке 2

Uab=U2=U3=i1

Ток участков 2 и 3

I2=

I3=

2.4.2 Расчётная часть.

Вычислим сопротивления групп элементов, приняв ω = 2Πf = 2·3.141592·50 =314.1592:

Найдем полное сопротивление цепи:

Вычислим ток I1:

Вычислим напряжение u1:

Вычислим напряжение Uab:

Uab=U2=U3

Найдем ток I2

Найдем ток I3

Таким образом, значения токов и напряжений в ветвях в соотвествии со схе- мой, изображенной на рисунке 10 имеют следующие значения, представленные в таблицах 4 и 5:

Обозначение	I 1	I 2	I 3
Алгебраическая форма, А	0.371+j0.466	0.335+j0.249	0.036+j0.217
Показательная форма, А	0.595ej51.476	0.418ej36.658	0.22e j80.579

Таблица 4 — Значения токов

Обозначение	U 1	U 2	U 3
Алгебраическая форма, В	-23.164+j18.441	18.823+j6.178	18.823+j6.178
Показательная форма, В	29.608e-j38.524	19.811 ej18.173	19.811 ej18.173

Таблица 5 — Значения напряжений

2.5 Баланс мощностей.

2.5.1 Теоретическая часть.

Общий вид баланса мощностей:

∑S_ист=∑S_потр

где мощность источника можно выразить следующим образом:

S_ист=P_ист+jQ_{ист или}

S_ист=EI₁’’

а мощность потребителей:

S_потр=P_потр+jQ_потр

P_потр=I²₁X₁+ I²₂X₂+I²₃X₃

Q_потр=±I²₁X₁± I²₂X₂± I²₃X₃

2.5.2 Расчётная часть.

2.6 Векторные диаграммы токов и напряжений.

Рисунок 11 — Векторная диаграмма токов и напряжений.

2.7 Закон изменения тока i₁(t) и напряжения u₁(t) на сопротивлении Z₁

2.7.1 Теоретическая часть.

Закон изменения тока:

I₁ = I₁e^jϕi

^I1m ^{= I}1 ^·√2

i₁ (t) = I_1m sin (ωt + ϕ_i )

Закон изменения напряжения:

U ₁ = U₁e^jϕu

^U _1m^{= U}1 ^·√2

u₁ (t) = U_1m sin (ωt + ϕ_u)

2.7.2 Расчётная часть.

Закон изменения тока:

_{i1 → I1= I1e}^jϕi ₌ 0.595e^j51.476

_I1m= I₁ ·√^{2 = 0.595 ·}√_{2 = 0.841}

i₁ (t) = I_1m sin (ωt + ϕ_i ) = _0.841sin (ωt +51.476 ^o )

Закон изменения напряжения:

_U1=U1 e^jϕu = 29.608e^-j38.524

U _1m = U1 √2= 41.872

u₁ (t) = U_1m sin (ωt + ϕ_u) = 41.872sin (ωt -38.524^o )

Таким образом, закон изменения тока i₁ и закон изменения напряжения u₁ на сопротивлении Z₁, можно представить в виде:

i₁ (t) = I_1m sin (ωt + ϕ_i ) = _0.841sin (ωt +51.476 ^o )

u₁ (t) = U_1m sin (ωt + ϕ_u) = 41.872sin (ωt -38.524^o )