
- •Общие сведения
- •Краткое содержание
- •Практикум
- •Тема 1. Векторная алгебра.
- •1.1. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •1.1.1. Понятие вектора.
- •1.1.2. Линейные операции над векторами.
- •Свойства сложения векторов:
- •1.1.3. Понятие линейной зависимости векторов.
- •1.1.4. Линейные комбинации двух векторов.
- •Доказательство.
- •1.1.5. Линейные комбинации трех векторов.
- •Доказательство.
- •1.1.6. Линейная зависимость четырех векторов.
- •1.1.7. Понятие базиса. Аффинные координаты.
- •1.1.8. Проекция вектора на ось.
- •1.1.9. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. (дпск)
- •1.2. Скалярное произведение двух векторов.
- •1.2.1. Определение скалярного произведения (сп).
- •1.2.2. Геометрические свойства сп.
- •Доказательство.
- •1.2.3. Алгебраические свойства сп.
- •1.2.4. Выражение скалярного произведения (сп) в декартовых прямоугольных координатах (дпк).
- •1.3. Векторное произведение двух векторов.
- •1.3.1. Правые и левые тройки векторов и системы координат.
- •1.3.2. Векторное произведение двух векторов (вп).
- •1.3.3. Геометрические свойства вп.
- •1.3.4. Алгебраические свойства векторного произведения (вп).
- •1.3.5. Понятие матрицы и определителя второго и третьего порядка.
- •1.3.6. Выражение векторного произведения (вп) в декартовых прямоугольных координатах (дпк).
- •1.3.7. Смешанное произведение трех векторов.
- •1.3.8. Выражение смешанного произведения в декартовых координатах.
- •1.4. Уравнение линии на плоскости.
- •1.4.1.Параметрическое представление линии.
- •1.4.2.Уравнение линии в полярных координатах.
- •1.4.3. Пересечение двух линий.
- •1.4.4. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве.
- •1.5. Различные виды уравнений прямой на плоскости.
- •1.5.1. Общее уравнение прямой.
- •1.5.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •1.5.3. Уравнение прямой в отрезках.
- •1.5.4. Каноническое уравнение прямой.
- •1.5.5. Параметрические уравнения прямой.
- •1.5.6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
- •1.5.7. Нормированное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой.
- •1.5.8. Приведение общего уравнения прямой к нормированному виду.
- •Тема 2. Геометрия на плоскости и в пространстве. Общие сведения
- •Краткое содержание
- •Практикум
- •Тема 2. Кривые второго порядка.
- •2.1. Эллипс.
- •2.1.1. Определение эллипса и вывод его канонического уравнения.
- •2.1.2. Исследование формы эллипса.
- •2.1.3. Эксцентриситет и фокальные радиусы эллипса.
- •2.2. Гипербола.
- •2.2.1. Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения.
- •2.2.2. Исследование формы гиперболы.
- •Асимптоты гиперболы
- •Равнобочная гипербола
- •Сопряженная гипербола
- •2.2.3. Эксцентриситет и фокальные радиусы гиперболы.
- •Фокальные радиусы
- •2.3. Парабола.
- •2.3.1. Определение параболы и ее уравнение.
- •2.3.2. Исследование формы параболы.
- •2.4. Общее свойство кривых второго порядка - эллипса, гиперболы и параболы.
- •2.4.1. Директриса эллипса гиперболы и параболы.
- •2.4.2. Полярное уравнение кривой второго порядка.
- •Тема 3. Вещественные и комплексные числа. Общие сведения
- •Краткое содержание
- •Практикум
- •3.1. Плоскость как поверхность первого порядка.
- •3.2. Неполные уравнения плоскости.
- •3.3. Уравнение плоскости в отрезках.
- •3.4. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
- •3.5. Уравнение прямой в пространстве.
- •3.6. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой.
- •3.7. Некоторые дополнительные предложения и примеры.
- •Тема 4. Числовые последовательности. Общие сведения
- •Прямое произведение двух множеств.
- •4.1.2.Вещественные числа и их изображение на числовой оси. Основные свойства рациональных чисел.
- •Измерение отрезков числовой оси.
- •4.1.3. Ограниченные множества вещественных чисел.
- •Теорема 1.
- •4.1.4. Некоторые конкретные множества вещественных чисел.
- •4.2. Теория последовательностей.
- •4.2.1. Понятие числовой последовательности.
- •4.2.2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •Примеры.
- •4.2.3. Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях.
- •4.2.4. Сходящиеся последовательности. Основные определения.
- •Определение 2.
- •4.2.5. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •4.2.6. Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •4.2.7. Монотонные последовательности.
- •4.2.8. Число е.
- •4.2.9. Предельный переход в неравенствах.
- •Следствие 1.
- •4.2.10. Подпоследовательности числовых последовательностей.
- •4.2.11. Предельные точки последовательности.
- •4.3. Понятие функции. Предел функции. Непрерывность.
- •4.3.1. Определение функции. Определение 1.
- •4.3.2. Способы задания функций.
- •4.3.3. Монотонные функции.
- •4.3.4. Сложная функция.
- •4.3.5. Обратная функция.
- •4.3.8. Односторонние пределы.
- •4.3.9. Пределы на бесконечности.
1.4.4. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве.
Пусть нам заданы декартова прямоугольная система координат Oxyz и некоторая поверхность S.
Определение 1. Уравнение
называется уравнением поверхности S (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x, y, z любой точки, лежащей на поверхности S, и не удовлетворяют координаты x, y, z ни одной точки, не лежащей на поверхности S.
Пример.
Уравнение сферы радиуса R>0 с центром
в точке
в
декартовой прямоугольной системе
координат Oxyz имеет вид
.
Действительно, точка
лежит
на указанной сфере тогда и только тогда,
когда квадрат расстояния между точками
.
Определение 2. Линия в пространстве есть геометрическое место точек, лежащих одновременно на двух поверхностях.
Таким образом, линия в пространстве рассматривается как линия пересечения двух поверхностей.
Если
-
уравнения двух поверхностей, пересечением
которых является данная линия L, то два
уравнения
совместно определяют линию L.
Как и в случае плоской линии (п.2) можно линию в пространстве представить параметрически, задав координаты x, y, z любой точки данной линии как непрерывные функции некоторого параметра t :
,
определенные в некотором
промежутке изменения параметра
.
Для отыскания точек пересечения поверхностей и линий следует решить совместно уравнения, определяющие указанные линии и поверхности.
1.5. Различные виды уравнений прямой на плоскости.
1.5.1. Общее уравнение прямой.
Уравнение
Ax+By+C=0 (6.1)
с произвольными коэффициентами A, B и C такими, что A и B не равны одновременно нулю, называется общим уравнением прямой L.
Уравнение (6.1) имеет
хотя бы одно решение
,
т.е. существует точка
,
координаты которой удовлетворяют
уравнению (6.1):
.
(6.2)
Вычитая из уравнения (6.1) тождество (6.2), получаем уравнение
,
(6.3)
эквивалентное уравнению (6.1).
Если точка
лежит
на прямой L, то ее координаты удовлетворяют
уравнению (6.3), векторы
,
перпендикулярный к прямой L, и
перпендикулярны
и их скалярное произведение
равно нулю. Если же
точка
не
лежит на прямой L , то ее координаты не
удовлетворяют уравнению (6.3).
Итак, уравнение (6.3)
определяет прямую L, проходящую через
точку
и
перпендикулярную вектору
.
Этот вектор будем называть нормальным
вектором прямой (6.1).
Замечание. Если
два уравнения
определяют
одну и ту же прямую, то существует такое
вещественное число t, что справедливы
равенства
.
1.5.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
|
Пусть прямая не
параллельна оси Ox, тогда в уравнении
(6.1) коэффициент
|
Если прямая параллельна оси Ox, то угол наклона будем считать равным нулю.
Угловым коэффициентом
прямой назовем
тангенс угла наклона этой прямой к оси
Ox,
.
Для прямой, параллельной
оси Ox, угловой коэффициент равен 0, а для
прямой, перпендикулярной оси Ox, угловой
коэффициент не существует
.
Из уравнения (6.3) и того,
что
-
нормальный вектор прямой, следует, что
.
Отсюда получим уравнение
прямой с угловым коэффициентом в виде
.
Если обозначить
,
то последнее уравнение примет вид
.
(6.4)
Это уравнение и
называется уравнением прямой с угловым
коэффициентом. Здесь k- угловой коэффициент
данной прямой, а b - отрезок, отсекаемый
данной прямой на оси Oy, начиная от начала
координат (при
).