1.2.3. Алгебраические свойства сп.

 

1. 

2. 

3. 

4. , если - ненулевой вектор, и

, если - нулевой вектор.

 

Свойство 1. Следует из формулы (1).

 

Второе свойство получается из определения 2 (формула 2) скалярного произведения:

 

.

 

Свойство 3. получаем из свойств линейности проекции вектора на ось и формулы (2) :

 

Четвертое свойство вытекает из формулы (1):

 

.

 

 

1.2.4. Выражение скалярного произведения (сп) в декартовых прямоугольных координатах (дпк).

 

Теорема 2.4. Если два вектора определены своими ДПК

 

,

,

 

то СП этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

 

.

Доказательство. По определению 1,

 

также.

, также

.

 

Используя алгебраические свойства СП имеем

 

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов и является равенство

 

.

Следствие 2. Угол  между векторами определяется по формуле

 

 

1.3. Векторное произведение двух векторов.

 

1.3.1. Правые и левые тройки векторов и системы координат.

 

Определение 1. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано какой из них является первым, какой- вторым и какой- третьим.

 

Т.е. запись означает, что первым элементом является вектор , вторым- , третьим- .

Определение 2. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если после приведения к общему началу вектор располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами , откуда кратчайший поворот от виден совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

 

 

Правая тройка Левая тройка

Определение 3. Аффинная или декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

 

В дальнейшем будем рассматривать только правые системы координат.

 

 

1.3.2. Векторное произведение двух векторов (вп).

 

Определение. ВП вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий трем условиям:

 

1. 1) длина вектора равна произведению длин векторов на синус угла  между ними:  ; (1)

2. 2) вектор ортогонален к каждому из векторов ;

3. 3) вектор направлен так, что тройка векторов является правой.

 

1.3.3. Геометрические свойства вп.

 

Теорема 3.3. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их ВП.

Доказательство. 1). Необходимость вытекает из определения ВП.

2). Достаточность. Пусть . Докажем, что векторы коллинеарны. Если хотя бы один из векторов является нулевым, то он коллинеарен любому вектору.

 

Если же оба вектора ненулевые, то >0, и поэтому из равенства следует, что sin=0, =0, т.е. векторы коллинеарны, ч.т.д.

 

Заметим, что так как площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон этого параллелограмма на синус угла между ними, то из определения ВП (пункт 1) получим, что длина (или модуль) ВП равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах .

 

 

1.3.4. Алгебраические свойства векторного произведения (вп).

 

Из определения ВП получаем следующие четыре свойства ВП:

1. ;

2. ;

3. ;

4. для любого вектора .