1.1.9. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. (дпск)

 

ДПСК является частным случаем аффинной системы, отвечающим тройке взаимно ортогональных и единичных базисных векторов. Принято направления векторов брать совпадающими с направлением декартовых осей Ox, Oy, Oz соответственно.

 

Нами получено, что любой вектор может быть, причем единственным способом, разложен по декартову прямоугольному базису (ДПБ), т.е. для каждого вектора существует единственная тройка чисел X, Y, Z такая, что

 

.

 

Числа X, Y, Z называются декартовыми прямоугольными координатами (ДПК) вектора . Если M- любая точка пространства, то ДПК этой точки совпадают с ДПК вектора .

 

Вектор будем также записывать в виде .

 

Теорема 1.9. ДПК вектора равны прекциям этого вектора на оси OX, OY и OZ соответственно.

 

Доказательство.

. , т.к. из и того, что , получаем . Но знаки OA и X совпадают,

 

т.к. когда векторы направлены в одну сторону, оба числа OA и X положительны, а в случае когда векторы направлены в противоположные стороны, оба числа OA и X отрицательны. Т.е. OA=X.

 

Аналогично OB=Y, OC=Z, ч.т.д.

 

Обозначим , ,  углы наклона вектора к осям Ox, Oy, Oz соответственно. Числа cos, cos, cos называют направляющими косинусами вектора .

 

Из теорем 8 и 9 имеем

 

.  (1)

 

Т.к. квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон, то из равенств OA=X, OB=Y, OC=Z получим выражение для длины вектора через его координаты:

 

  (2)

 

 

Из формул (1) и (2) имеем:

 

, .

 

 

Возводя в квадрат и складывая последние равенства, получим

 

 

.

1.2. Скалярное произведение двух векторов.

1.2.1. Определение скалярного произведения (сп).

 

 

Определение 1. СП двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение будем обозначать символом , угол между векторами - .

По определению 1 :

 

. (1)

 

Можно сформулировать другое определение СП двух векторов, эквивалентное определению 1.

Из теоремы 1.8 имеем:

 

(проекция вектора на ось вектора ).

Отсюда получаем Определение 2 :

 

или

(2)

 

 

1.2.2. Геометрические свойства сп.

 

Теорема 2.1. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

 

Доказательство.

 

1. Необходимость. Пусть векторы ортогональны,- угол между ними. Тогда cos=0 и, в силу формулы (1), .

2. Достаточность. Пусть . Докажем, что векторы ортогональны. Если хотя бы один из векторов является нулевым, то он ортогонален любому вектору.

 

Если же векторы ненулевые, то, поэтому из равенства вытекает, что cos=0, т.е. векторы ортогональны, ч.т.д.

Замечание.

 

Углом между двумя векторами считаем тот, который не превосходит . (0   ).

Из формулы (1) следует

Теорема 2.2. Два ненулевых вектора составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их СП положительно отрицательно.