4.3.8. Односторонние пределы.

Определение 1. (предел f(x) слева в т. а. Обозначение f(a-0)).

 

 

 

Определение 2. (предел f(x) справа в т. а. Обозначение f(a+0)).

 

 

 

 

Пример 3. f(x)=sgn x, a=0,

 

(т.к. f(x)=1 при x>0).

(т.к. f(x)=-1 при x<0).

 

 

Односторонние пределы существуют, в то время как предел функции y=sgn x в точке 0 не существует.

 

Замечание.

 

 , т.е. справедлива теорема: Если в точке а правый и левый пределы функции равны, то в точке а существует предел этой функции, равный указанным односторонним пределам.

 

Действительно, если неравенство f(x)-b в определении предела справедливо при a<x<a+ и a-  <x<a, то оно будет справедливо и при 0<x-a<.

 

 

4.3.9. Пределы на бесконечности.

 

Определение 1. (предел f(x) при x).

 

 

 

 

Определение 2. (предел f(x) при x+).

 

 

 

 

Определение 3. (предел f(x) при x- ).

 

 

 

 

Задача. Сформулировать определения 4-6 пределов по Гейне.

 

Замечание. Предел последовательности- частный случай предела функции {x}=N, x.

 

Замечание. Определения односторонних пределов получаются как частный случай определения предела функции, если область определения функции {x} представляет собой правую (левую) полуокрестность т. а (или, соответственно, правую (левую) полупрямую) (см. рис.3 п.1.4.3.6.).