4.2.4. Сходящиеся последовательности. Основные определения.

 

 

Определение 1. Последовательность x_n называется сходящейся (x_nс), если существует такое действительное число а, что последовательность x_n - а является бесконечно малой последовательностью

 

 

Замечание. Исходя из этого определения следует, что всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом 0.

 

Определение 2.

 

 

 

Очевидно, что неравенство  x_n - а< эквивалентно неравенствам - x_n -а   или а- x_n а+ , которое означает, что некоторый элемент x_n последовательности  x_n  принадлежит , окрестности числа а, поэтому определение сходящейся последовательности можно дать следующим образом:

 

 

Определение 3. Последовательность x_n называется сходящейся, если существует действительное число а такое, что в любой  - окрестности числа а находятся все элементы последовательности x_n начиная с некоторого номера. Число а, фигурирующее в определениях, называется пределом последовательности x_n.

 

Символическая запись существования предела последовательности x_n, равного а, записывается так : , или x_nа при n .

 

Бесконечно большие последовательности иногда называются последовательностями, сходящимися к бесконечности, поэтому если x_nБ, то символически это записывается следующим образом: = , или x_n  при n .

 

Если элементы бесконечно большой последовательности начиная с некоторого номера имеют определенный знак, то говорят, что x_n сходится к бесконечности определенного знака = +

 

 или = - .

 

Замечание 1. Из определения 1 сходящейся последовательности вытекает, что последовательность x_n - а. Обозначая элементы этой последовательности через _n, _n= x_n -а, мы получим, что любой элемент x_n сходящейся последовательности x_n, имеющей пределом число а, может быть представлен в виде x_n =a+_n, где _{n -} элемент бесконечно малой последовательности.

 

Замечание2. Из определения предела последовательности вытекает, что конечное число элементов не влияет на сходимость этой последовательности и на величину ее предела.

 

Пример. Покажем, что последовательность 1+ (-1)ⁿ/nсходится. Пределом этой последовательности является число 1. Для доказательства достаточно показать, что последовательность x_n - а= (-1)ⁿ/n. В самом деле, если n  n₀ , то поэтому по данному >0 следует выбрать номер n₀ такой, чтобы выполнялось условие 1/n₀ <, т.е. n₀ =1+1, где x- целая часть числа x - т.е. наибольшее целое число, не превышающее x.

 

(Например, 6,187=6; -5,87=-6 ).

 

В качестве n₀ можно взять и любой номер 1+к, где к>1.

 

Определение 4. Последовательность x_n называется фундаментальной (x_n), если для любого положительного числа  найдется номер n₀ такой, что для всех номеров n , удовлетворяющих условию n  n₀ , и для всех натуральных чисел р(р=1, 2, . . . ), все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству

Сформулируем без доказательства Критерий Коши о необходимом и достаточном условии сходимости последовательности.

 

Теорема. Для того, чтобы последовательность x_n была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она былы фундаментальной.