Прямое произведение двух множеств.

 

Пусть имеются два множества А и В и пусть аА, bB. Совокупность всевозможных упорядоченных пар (а,b) составляет новое множество, называемое прямым произведением А и В. Прямое произведение обозначается АВ.

 

 

4.1.2.Вещественные числа и их изображение на числовой оси. Основные свойства рациональных чисел.

 

Основным понятием математики являются числа натурального ряда:

 

которые появились в результате счета предметов.

 

Целые числа :

Рациональным числом называется число, представимое в виде отношения двух целых чисел (q0; p и q- целые числа).

 

Отметим при этом, что одно и то же рациональное число представимо в виде отношения различных целых чисел . Множество всех рациональных чисел будем обозначать через Q, тогда

 

В курсе элементарной математики вводились определения операций сложения и умножения рациональных чисел, давалось правило сравнения этих чисел, доказывались простейшие свойства.

 

Поэтому перечислим без доказательства основные свойства рациональных чисел, вытекающие из соответствующих свойств целых чисел.

 

Главную роль среди свойств играют три правила:

• правило сравнения;

• правило образования суммы;

• правило образования произведения.

 

I. Правило сравнения: любые два рациональные числа а и b связаны одним и только одним из трех знаков   , причем если аb, то b а.

Правило сравнения рациональных чисел формулируется так: два неотрицательных рациональных числа связаны тем же знаком, что и два целых числа ; два неположительных рациональных числа а и b связаны тем же знаком, что и два неотрицательных числа b и а ; если а - неотрицательное, а b - отрицательное число, то аb.

 

Правило сравнения обладает следующим свойством:

 

1. (из аb и bс) ас (свойство транзитивности знака );

 

(из а=b и b=с) а=с (свойство транзитивности знака =).

 

II. Правило образования сумм.

 

Существует правило, посредством которого любым двум рациональным числам а и b ставится в соответствие определенное рациональное число с, называемое их суммой и обозначаемое символом с=а+b.

 

Правило образования суммы рациональных чисел определяется формулой . Операция нахождения суммы называется сложением.

 

Правило сложения рациональных чисел обладает следующими свойствами:

 

2. а+b=b+а (коммутативность, или переместительное свойство);

3.(а+b)+c=а+(b+c) (ассоциативность, или сочетательное свойство);

4.(особая роль нуля);

5.; число а¹ называется противоположным для числа а.

 

III. Правило образования произведения.

 

Существует правило, посредством которого любым двум рациональным числам а и b ставится в соответствие определенное рациональное число с, называемое их произведение и обозначаемое символом с=аb.

 

Правило образования произведения рациональных чисел

 

определяется формулой .

 

Операция нахождения произведения называется умножением. Свойства правила умножения рациональных чисел:

 

6. (переместительное свойство);

7. (сочетательное свойство);

8. (особая роль единицы);

9. рациональное число а^-называется обратным рациональному числу а.

 

Свойство, связывающие правила сложения и умножения:

 

10. (распределительное свойство умножения относительно суммы).

 

Свойства, связывающие знак  со знаком сложения и умножения

 

11.

12.

 

Последнее свойство, называемое аксиомой Архимеда, формулируется следующим образом.

 

Каково бы ни было рациональное число а, можно число 1 повторить слагаемым столько раз, что полученная сумма превзойдет а.

 

Из вышеперечисленных основных свойств рациональных чисел могут быть получены как следствие все другие алгебраические свойства этих чисел, относящиеся как к арифметическим действиям, так и к сочетанию равенств и неравенств.