
- •Общие сведения
- •Краткое содержание
- •Практикум
- •Тема 1. Векторная алгебра.
- •1.1. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •1.1.1. Понятие вектора.
- •1.1.2. Линейные операции над векторами.
- •Свойства сложения векторов:
- •1.1.3. Понятие линейной зависимости векторов.
- •1.1.4. Линейные комбинации двух векторов.
- •Доказательство.
- •1.1.5. Линейные комбинации трех векторов.
- •Доказательство.
- •1.1.6. Линейная зависимость четырех векторов.
- •1.1.7. Понятие базиса. Аффинные координаты.
- •1.1.8. Проекция вектора на ось.
- •1.1.9. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. (дпск)
- •1.2. Скалярное произведение двух векторов.
- •1.2.1. Определение скалярного произведения (сп).
- •1.2.2. Геометрические свойства сп.
- •Доказательство.
- •1.2.3. Алгебраические свойства сп.
- •1.2.4. Выражение скалярного произведения (сп) в декартовых прямоугольных координатах (дпк).
- •1.3. Векторное произведение двух векторов.
- •1.3.1. Правые и левые тройки векторов и системы координат.
- •1.3.2. Векторное произведение двух векторов (вп).
- •1.3.3. Геометрические свойства вп.
- •1.3.4. Алгебраические свойства векторного произведения (вп).
- •1.3.5. Понятие матрицы и определителя второго и третьего порядка.
- •1.3.6. Выражение векторного произведения (вп) в декартовых прямоугольных координатах (дпк).
- •1.3.7. Смешанное произведение трех векторов.
- •1.3.8. Выражение смешанного произведения в декартовых координатах.
- •1.4. Уравнение линии на плоскости.
- •1.4.1.Параметрическое представление линии.
- •1.4.2.Уравнение линии в полярных координатах.
- •1.4.3. Пересечение двух линий.
- •1.4.4. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве.
- •1.5. Различные виды уравнений прямой на плоскости.
- •1.5.1. Общее уравнение прямой.
- •1.5.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •1.5.3. Уравнение прямой в отрезках.
- •1.5.4. Каноническое уравнение прямой.
- •1.5.5. Параметрические уравнения прямой.
- •1.5.6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
- •1.5.7. Нормированное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой.
- •1.5.8. Приведение общего уравнения прямой к нормированному виду.
- •Тема 2. Геометрия на плоскости и в пространстве. Общие сведения
- •Краткое содержание
- •Практикум
- •Тема 2. Кривые второго порядка.
- •2.1. Эллипс.
- •2.1.1. Определение эллипса и вывод его канонического уравнения.
- •2.1.2. Исследование формы эллипса.
- •2.1.3. Эксцентриситет и фокальные радиусы эллипса.
- •2.2. Гипербола.
- •2.2.1. Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения.
- •2.2.2. Исследование формы гиперболы.
- •Асимптоты гиперболы
- •Равнобочная гипербола
- •Сопряженная гипербола
- •2.2.3. Эксцентриситет и фокальные радиусы гиперболы.
- •Фокальные радиусы
- •2.3. Парабола.
- •2.3.1. Определение параболы и ее уравнение.
- •2.3.2. Исследование формы параболы.
- •2.4. Общее свойство кривых второго порядка - эллипса, гиперболы и параболы.
- •2.4.1. Директриса эллипса гиперболы и параболы.
- •2.4.2. Полярное уравнение кривой второго порядка.
- •Тема 3. Вещественные и комплексные числа. Общие сведения
- •Краткое содержание
- •Практикум
- •3.1. Плоскость как поверхность первого порядка.
- •3.2. Неполные уравнения плоскости.
- •3.3. Уравнение плоскости в отрезках.
- •3.4. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
- •3.5. Уравнение прямой в пространстве.
- •3.6. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой.
- •3.7. Некоторые дополнительные предложения и примеры.
- •Тема 4. Числовые последовательности. Общие сведения
- •Прямое произведение двух множеств.
- •4.1.2.Вещественные числа и их изображение на числовой оси. Основные свойства рациональных чисел.
- •Измерение отрезков числовой оси.
- •4.1.3. Ограниченные множества вещественных чисел.
- •Теорема 1.
- •4.1.4. Некоторые конкретные множества вещественных чисел.
- •4.2. Теория последовательностей.
- •4.2.1. Понятие числовой последовательности.
- •4.2.2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •Примеры.
- •4.2.3. Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях.
- •4.2.4. Сходящиеся последовательности. Основные определения.
- •Определение 2.
- •4.2.5. Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •4.2.6. Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •4.2.7. Монотонные последовательности.
- •4.2.8. Число е.
- •4.2.9. Предельный переход в неравенствах.
- •Следствие 1.
- •4.2.10. Подпоследовательности числовых последовательностей.
- •4.2.11. Предельные точки последовательности.
- •4.3. Понятие функции. Предел функции. Непрерывность.
- •4.3.1. Определение функции. Определение 1.
- •4.3.2. Способы задания функций.
- •4.3.3. Монотонные функции.
- •4.3.4. Сложная функция.
- •4.3.5. Обратная функция.
- •4.3.8. Односторонние пределы.
- •4.3.9. Пределы на бесконечности.
Тема 3. Вещественные и комплексные числа. Общие сведения
Изучив данную тему, студент должен
Знать:
-
определения натуральных, целых, рациональных, вещественных чисел.
-
определения конкретных множеств вещественных чисел(сегмент, полусегмент, интервал, окрестность и т.д.).
-
определения комплексного числа.
-
действия с комплексными числами.
-
тригонометрическую форму комплексного числа
Уметь:
-
производить операции с комплексными числами, применять формулу Муавра.
Краткое содержание
Данная тема включает в себя:
-
Понятие числа. Натуральные, целые и рациональные числа. Вещественные числа, изображение вещественных чисел как точек оси координат.
-
Некоторые конкретные множества вещественных чисел.
-
Понятие о комплексных числах. Действия над комплексными числами. Геометрическая интерпретация.
-
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Практикум
Решить задачи №650-659 из «Сборника задач по Высшей математике» Минорского В.П.
3.1. Плоскость как поверхность первого порядка.
Теорема. В декартовой прямоугольной системе координат каждая плоскость определяется уравнением первой степени.
Доказательство.
Рассмотрим произвольную плоскость π и
докажем, что эта плоскость определяется
уравнением первой степени. Возьмем на
плоскости
какую-нибудь точку М0(x0;
y0;
z0);
выберем кроме этого, произвольный вектор
(не нулевой) перпендикулярный к плоскости
π.
π.
={А;
В; С}. Пусть М(x; y; z) - произвольная точка.
Она лежит на плоскости тогда и только
тогда, когда вектор
перпендикулярен
вектору
:
.
Условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения:
={x-
x0;
y- y0;
z- z0};
={А;
В; С}.
=0
А(x- x0)+В(y-
y0)+С(z-
z0)=0.
(1)
Это и есть искомое уравнение плоскости π, т.к. ему удовлетворяют координаты x; y; z точки М тогда и только тогда, когда М лежит на плоскости π.
Раскрывая скобки, представим уравнение (1) в виде Аx+Вy+Сz+(-Аx0-Вy0-Сz0)=0. Далее, обозначая число -Аx0-Вy0-Сz0 буквой D, получим:
Аx+Вy+Сz+D=0.
Мы видим, что плоскость π действительно определяется уравнением первой степени. Теорема доказана.
Произвольный ненулевой
вектор, перпендикулярный плоскости,
называется нормальным
к ней вектором.
Употребляя это название, мы можем
сказать, что уравнение А(x-x0)+В(y-y0)+С(z-z0)=0
есть уравнение плоскости, проходящей
через точку М0(x0;
y0;
z0)
и имеющей нормальный вектор
={А;
В; С}.
Уравнение вида
Аx+Вy+Сz+D=0 (2)
называется общим уравнением плоскости.
Теорема. В декартовых координатах каждое уравнение первой степени определяет плоскость.
Доказательство. Рассмотрим произвольное уравнение первой степени Аx+Вy+Сz+D=0 (А, В, С одновременно не равны нулю).
Пусть x0, y0, z0 произвольная тройка чисел, удовлетворяющая уравнению (2):
Аx0+Вy0+Сz0+D=0. (3)
Вычтем из уравнения (2) тождество (3), получим
А(x-x0)+В(y-y0)+С(z-z0)=0,
которое по предыдущему
представляет собой уравнение плоскости,
проходящей через точку М0(x0;y0;
z0)
и имеющей нормальный вектор
={А;
В; С}. Но уравнение (2) равносильно уравнению
(1), т.к. уравнение (1) получается из
уравнения (2) путем почленного вычитания
тождества (3), а уравнение (2) в свою очередь
получается из уравнения (1) путем
почленного прибавления тождества (3).
Следовательно, уравнение (2) является
уравнением той же плоскости. Теорема
доказана.
Докажем теперь следующее
важное утверждение: если два уравнения
А1x+В1y+С1z+D1=0
и А2x+В2y+С2z+D2=0
определяют одну и ту же плоскость, то
коэффициенты их пропорциональны.
Действительно
={А1;
В1;
С1}
и
={А2;
В2;
С2}
перпендикулярны к одной и той же
плоскости, следовательно вектора
и
-
коллинеарны, тогда
А1=А2m; В1=В2m; С1=С2m.
Пусть М0(x0;y0; z0) - любая точка плоскости: ее координаты должны удовлетворять каждому из данных уравнений, таким образом А1x+В1y+С1z+D1=0 и А2x+В2y+С2z+D2=0. Умножим второе из этих равенств на m и вычтем из первого: получим
D1
- D2m=0
или D1=
D2m
и
.
Тем самым наше утверждение доказано.