V. Дифференциальное исчисление функции одного переменного

1. Производная. Правила дифференцирования

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Придадим значению переменной в точке приращение , при этом получит приращение . Если существует конечный предел

,

то он называется производной функции f(x) в точке x₀ и обозначается . Общеприняты и другие обозначения производной функции

: , ; если же зависит от значения переменной (времени), то часто вместо пишут . Если вышеуказанный предел существует в каждой точке интервала , то становится функцией, определённой на (a, b).

Пример 1. Используя определение производной, найти производную функции .

Решение. Придадим значению переменной x приращение x, тогда функция получит приращение

y = f(x + x) – f(x) = sin (2(x + x) + 1) – sin (2x + 1) =

= 2 sin x cos (2x + x + 1).

Отсюда находим

.

Таким образом, .

Процесс нахождения производной часто называют дифференцированием.

2. Таблица производных

(Здесь и ниже C – постоянная величина.)

; ; ;

; ; ;

; ;

; .

3. Правила дифференцирования

Если функции f(x) и g(x) имеют производные и , то функции , , , также имеют производные (последняя – при условии ), и при этом

; ;

; .

Теорема 1 (о производной сложной функции). Пусть функции , определённая в окрестности точки x₀, и z = g (y), определённая в окрестности точки , обладают тем свойством, что существуют производные и . Тогда функция имеет производную в точке x₀ и при этом

.

Пример 2. Найти производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение. а), б) Применяя правила дифференцирования, находим

=;

в), г) Применяя теорему о дифференцировании сложной функции, находим

=;

.

Пример 3. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

. (1)

Решение. Найдём производную функции

.

Подставив это выражение в (1), получим

,

или .

Это и доказывает, что наша функция удовлетворяет уравнению (1).

Для дифференцирования степенно-показательной (вида ) и некоторых других функций удобно пользоваться так называемым логарифмическим дифференцированием.

Пример 4. Найти производные функций:

а) ; б) .

Решение. а) Предварительно прологарифмируем обе части равенства , имеем

.

Продифференцируем обе части последнего равенства, считая сложной функцией от :

;

отсюда находим

.

Подставив , получим

.

б) действуя так же, находим

;

;

4. Производные высших порядков

Производную от производной называют второй производной от функции f(x) и обозначают . Производную от называют третьей производной функции f(x) и обозначают . Таким образом,

, , . . . , , . . .

Общепринятыми являются и другие обозначения производной n-го порядка функции y = f(x): или .

Пример 5. Найти , если y = ln(sinx) .

Решение.

;

.

5. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически Говорят, что уравнение

F(x, y) = 0 (2)

неявно задаёт функцию y = f(x) в интервале (a, b), если для любого уравнение F(x₀; y)=0 имеет единственное решение y₀ = f(x₀).

Для нахождения производной функции , заданной неявно уравнением (2), следует продифференцировать обе части равенства (2), считая функцией от ; затем полученное уравнение, в которое будут входить x, y и , следует разрешить относительно .

Для нахождения равенство (2) дифференцируется дважды, в результате чего получается уравнение, содержащее x, y, , , которое следует разрешить относительно , затем вместо подставить функцию от x и y, найденную указанным выше способом.

Пример 6. Найти значения , , если функция y задана неявно уравнением

. (3)

Решение. Считая y функцией от x, продифференцируем обе части равенства (3): ;

; . (4)

Отсюда находим

; (5)

.

Для нахождения y(0) в равенстве (3) положим x = 0:

; ; y(0) = 1.

Таким образом,

.

Найдём , для чего продифференцируем равенство (4):

;

;

.

Подставив в последнем равенстве вместо выражение (5), получим

,

откуда находим

.

Если функция y = y(x) задана параметрическими уравнениями

то при условии существования производных , и существует производная и при этом

.

Вторая производная находится по формуле

,

или (что то же самое)

.

Пример 7. Найти , , если

Решение. Имеем:

; ;

;