I. Комплексные числа. Многочлены

1. Комплексные числa

Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел и , для которых введены понятия равенства и операции сложения и умножения:

если , (1)

(2)

. (3)

Из формул (2) и (3) вытекают, в частности, соотношения

,

которые показывают, что операции над комплексными числами вида совпадают с операциями над действительными числами . Поэтому комплексные числа вида отождествляются с действительными числами . Особую роль играет число , которое называется мнимой единицей.

Из формул (2), (3) вытекают также равенства:

,

,

.

Итак, каждое комплексное число можно представить в виде . Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа. Число называется действительной частью, а – мнимой частью комплексного числа . Для них приняты следующие обозначения:

.

Комплексное число называется сопряженным с комплексным числом .

Число называется модулем комплексного числа . Очевидно, , причем, , тогда и только тогда, когда . Модуль действительного числа совпадает с абсолютной величиной этого числа.

Отметим две формулы: , , которые вытекают из определений и равенства

.

Вычитание и деление комплексных чисел являются действиями, обратными соответственно сложению и умножению.

Если , , 

то 

.

Комплексное число как упорядоченная пара вещественных чисел определяет точку на плоскости или вектор (рис. 1).

Рис. 1

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Положение точки на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами , но и полярными координатами , где – длина вектора , а – угол между действительной осью и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси. При этом, если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной. Этот угол называется аргументом комплексного числа и обозначается так: . Для числа аргумент не определяется, поэтому во всех дальнейших рассуждениях, связанных с понятием аргумента, предполагается, что .

Угол определяется с точностью до , где – целое число. Значение аргумента, заключенное между и , называется его главным значением и обозначается . Таким образом, .

При этом

Из рис.1 видно, что

Следовательно, любое комплексное число можно представить в виде

(4)

Запись комплексного числа в виде (4) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если , то по формуле (4) имеем .

Комплексное число обозначается символом , то есть функция для любого вещественного числа определяется формулой Эйлера:

_. (5)

Подставляя (5) в (4), получаем показательную форму комплексного числа:

.

Заменим на в равенстве (5):

. (6)

Складывая и вычитая равенства (5) и (6), получаем формулы Эйлера:

Функция обладает обычными свойствами показательной функции, как если бы число было действительным.

Отметим основные из них:

(7)

(8)

. (9)

Из (9) и (5) вытекает формула Муавра:

.

С помощью (7), (8) легко получаются формулы умножения и деления комплексных чисел, записанных в показательной форме:

,

Корень из комплексного числа имеет различных значений и находится по формуле

где

Модуль разности чисел равен расстоянию между точками z₁ и z₂ комплексной плоскости.

Пример 1. Найти сумму, произведение и частное чисел

z₁ = –1+2i и z₂ = 2 – 3i .

Решение. ;

;

.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения

.

Таким образом,

, .

Пример 3. Выполнить действия. Ответ записать в алгебраической форме

Решение. ,

где модуль комплексного числа ;

главное значение аргумента комплексного числа.

; ; ;

.

Найдем модули и главные значения аргументов комплексного числа.

Считаем, что .

.

.

.

,

.

Тогда

.

Пример 4. Решить уравнение

.

Решение. Обозначим , , . Найдём , , . Для этого представим каждое из чисел z₁, z₂, z₃ в показательной форме: , , ;

, , ;

, ,

.

Имеем

.

Наше уравнение принимает вид или ; ; ; ; .

Таким образом, корни исходного уравнения являются корнями третьей степени числа . Имеем , . Найдём наши корни по формуле , k = 0, 1, 2.

Отсюда получаем

,

,

.

Числа w₀ , w₁ , w₂ (записанные в тригонометрической форме) и являются решением нашего уравнения. Найдём показательную и алгебраическую формы этих чисел:

, , – показательная форма.

,  , – алгебраическая форма.

Пример 5. Решить: а) систему уравнений; б), в) неравенства (геометрически):

а)

б) ;

в) .