Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глава II.doc

Скачиваний:

Добавлен:

22.11.2018

Размер:

1.82 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

II. Введение в анализ

1. Предел числовой последовательности

Числовой последовательностью называют правило, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие действительное (комплексное) число . Последовательность обозначают символом (). Можно сказать, что последовательность является функцией (). Очевидным образом определяются сумма, произведение, частное двух последовательностей. В этом разделе мы будем иметь дело лишь с последовательностями действительных чисел.

Число называется пределом последовательности если для любого найдётся номер такой, что для любого выполняется неравенство . При этом пишут или и говорят, что последовательность сходится к числу .

Если , , то: 1) ;

2) ; 3) ;

4) при ().

Пример 1. Дана последовательность . Найдите: а) ; б) такое, что для всех выполняется неравенство .

Решение. а) Имеем

б) Найдём требуемое . Из проделанных выше выкладок следует, что должно быть подобрано так, чтобы для всех

или ;

отсюда следует , . Следовательно, можно взять .

Последовательность называется бесконечно малой, если .

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого найдётся номер n₀ такой, что для любого справедливо неравенство ; записывается это так: . Если при этом , начиная с некоторого номера, сохраняет положительный (отрицательный) знак, то пишут () .

Важную роль играет последовательность Доказывается, что эта последовательность сходится, и ее предел обозначается буквой е; е 2,718.

2. Элементарные функции

К элементарным функциям относятся:

1) простейшие элементарные функции: постоянная с, степенная , показательная , логарифмическая , тригонометрическая , обратные тригонометрические ;

2) все функции, получающиеся из простейших элементарных функций путем применения конечного числа следующих четырех операций: сложение, умножение, деление, суперпозиция функций (сложная функция).

Пример 2. В класс элементарных функций попадают:

а) многочлен; б) рациональная дробь (отношение двух многочленов); в) , так как ; г) ; д) , так как и множество других.

3. Предел функции

Пусть функция определена во всех точках интервала , за исключением, быть может, точки . Число А называется пределом функции в точке , если для любого существует число такое, что для любого x, удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство , при этом пишут . Можно дать другое, равносильное приведенному, определение: число A называется пределом функции в точке x₀, если для любой последовательности чисел , сходящейся к , .

Если определена в интервале , то число A называется пределом при , если для любого существует число , такое, что неравенство влечет за собой неравенство . При этом пишут или . Аналогично определяется .

Число A называют пределом функции в точке слева (справа) и пишут или , или , если для любого найдется такое, что для всех (для всех ) справедливо неравенство . Число A является пределом в точке , если совпадают пределы в этой точке слева и справа: .

Если функция определена в интервале (в интервале ) и для любого M существует такое, что для любого (для любого справедливо неравенство , то говорят, что левый (правый) предел функции в точке равен , и при этом пишут или или Аналогично определяются и .

Предел функции обладает теми же свойствами, что и предел последовательности: если , , то

(последнее при ). То же верно для односторонних пределов.

Пример 3. Доказать, что . По данному найти такое, что из неравенства следует .

Решение. Пусть произвольно. Неравенство

равносильно неравенству . Поэтому, если по данному взять , то из неравенства будет следовать неравенство а это и означает, что . В частности, для достаточно взять .