Практическая работа № 6

Определение главных центральных моментов инерции сечений, имеющих одну или две оси симметрии: а) сложной фигуры; б) сечения, составленного из стандартных профилей проката.

Пример. Определить моменты инерции сечения (рис 16), составленного из прокатных профилей, относи­тельно главных центральных осей. Сечение состоит из двутавра № 33, швеллера № 27, двух уголков 90х56х6 и листа сечением 12х180 мм.

Решение: 1. Положение центра тяжести определено в примере: у_с = 2,33 см, если ось проходила через центр тяжести двутавра (рис.6)

2. Проводим центральные оси для каждого профиля проката х₁, х₂, х₃, х₄ и х₅.

3. Проводим главные центральные оси. Вертикальную ось v совмещаем с осью симметрии, а горизонтальную u проводим через центр тяжести сечения С перпендикуляр­но оси v.

4. Определим момент инерции сечения относительно оси и по формуле

I_и = I^шв_u + I^уг_u + I^уг_u + I^дв_u + I^листа_u

Учитывая, что уголки одинаковые и расположены на одинаковом расстоянии от оси u, получим

I_и = I^шв_u + 2I^уг_u + I^дв_u + I^листа_u (а)

Определим величину каждого слагаемого. Момент инер­ции швеллера № 27 относительно оси u равен:

I_u^шв = I ^шв_х1 + а₁^шв А_шв = 262+ 12,3² · 35,2 = 5587 см⁴,

где I ^шв_х1 = I ^шв_{у табл} =262 см⁴; момент инерции швеллера № 27 относи­тельно центральной оси х₁, совпадающей с осью у (см табл 1,4 прил. I); a₁ = у₁—у_с = 14,63— 2,33= 12,3 см; расстояние между осями х₁ и u; А_шв = 35,2 см².

Момент инерции уголка 90x56х6 относительно оси u равен:

I_u^уг = I ^уг_х2 + а₂² А_уг =21,2 + 6,55² ·8,54 = 388 см⁴,

где I ^уг_х2 = I ^уг_{у табл} =21,2 см⁴, момент инерции уголка 90х56х6 относи­тельно центральной оси, совпадающей с осью у (см. табл. 2 прил. I); а₂= у₂—у_с = 8,88—2,33 = 6,55 см, расстояние между осями х₂ и u; А_уг=8,54 см².

Момент инерции двутавра № 33 относительно оси u paвен:

I_u^дв = I ^дв_х4 + а₄² А_дв = 9840 + 2,33² ·53,8 = 10132 см⁴,

где I ^дв_х4 = I ^дв_{х табл} =9840 см⁴ — момент инерции двутавра № 33 относительно центральной оси х₄, которая совпадает с осью х (см. табл. 1 прил. I); а₄=у_с = 2,33см; расстояние между осями x₄ и u; А_дв=53,8 см².

Момент инерции листа 12х180 мм относительно оси u

I_u^листа =I_х5^листа+а₅²А_лист= 2,59+1 9,43²·21,6 = 8157 см⁴,

Где I_х5^листа===2,59см⁴; момент инерции листа от­носительно оси х₅ (см. прил.II);а₅=у₅+у_с = 17,1+2,33= 19,43 см —расстояние между осями х₅ и u; А_ЛИСт= 18·1,2=21,6 см².

Подставим полученное значение в формул (а)

I_u = 5587 + 2 ·388+ 10132 + 8157 = 24652 см⁴.

Рис.16

5. Определим момент инерции сечения относительно оси v

I_v = I^шв_v + 2I^уг_v + I^дв_v + I^листа_v (б)

Момент инерции швеллера № 27 отосительно оси v ра­вен:

I ^шв_v = I ^шв_{х табл} I ^шв_у1 =4160 см⁴ (см. табл. 4 прил. I).

Момент инерции уголка 90х56х6 относительно оси v равен:

I_v^уг = I ^уг_у2 + b₂² А_уг = 70,6 + 16.45² ·8,54 = 2382 см⁴,

_где I ^уг_у1 = I ^уг_{х табл} =70,6 см⁴ — момент инерции уголка относительно центральной оси у₃, которая совпадает с осью х (табл. 2 прил. I);

b₂ =h_шв/2 + у₀(уг) = + 2,95 = 16,45 см,

расстояние между осью у₂ и осью v; А_уг = 8,54 см².

Момент инерции двутавра № 30 относительно оси v ра­вен:

I ^дв_v= I ^дв_у = I ^дв_{у табл} =419 см⁴ (см табл. 3 прил. I)

Момент инерции листа 12х180 мм относительно оси v равен:

I_v^листа== 584 см (см. прил. II).

Подставим полученные значения в выражение (б)

I_v= 4160 + 2 ·2382 + 419+ 584 = 9926 см.

Ответ: I_u = 24 652 см⁴; I_v = 9926 см⁴.

Пример . Определить моменты инерции сечения, со­ставленного из простых геометрических фигур, относи­тельно главных центральных осей по условию примера (см. рис. 17).

Решение: 1. Положение центра тяжести определено в примере: (см. рис. 7).

у_с = 9,84 см.

2. Для каждой фигуры проводим центральные оси х₁,х₂,х₃,х₄ и х₅, причем оси х₃ и х₄ совпали.

3. Проводим главные центральные оси. Вертикальную ось v совместим с осью симметрии, а горизонтальную ось u проведем через центр тяжести сечения С перпен­ дикулярно оси v (рис. 17).

4. Момент инерции сечения относительно оси u опре­делим по формуле

I_u = I_u^I + I_u^II + 2I_u^III - I_u^IV

Определим значение каждого слагаемого. Момент инерции первой фигуры — прямоугольника — равен:

I_u^I = I_х1 + а₁²А= см⁴

Момент инерции второго прямоугольника

I_u^II = I_х2 + а₂²А₂= см*.

Рис. 17

Момент инерции треугольника

I_u^III= I_х3^III + а₃² А₃= см⁴

Момент инерции круга

I_u^V= I_х3^III + а₅² А₅= см⁴.

Подставим числовые значения в формулу для опре­деления

I_u = 93636 + 92166 + 2 · 17758 — 1515 = 219803 см⁴.

5. Определим момент инерции сечения относительно оси v по формуле

I_v = I_v^I + I_v^II + 2I_v^III - I_v^V

_гпе I_v^I = 42667 см⁴;

I_v^II = 2552 см⁴

I_v^III = см⁴

I_v^V= I_х3^III = см⁴

Подставим числовые значения в формулу для опреде­ ления I_v:

I_v = 42667 + 2552 + 2 · 8210 — 64 = 61575 см⁴.

Ответ: I_и = 219 803 см⁴; I_v = 61 575 см⁴.

Задание для расчетно-графической работы № 6.

Задача 1. Определить моменты инерции сечения, составленного из профилей прокатной стали, относительно главных центральных осей по данным одного из вариантов, приведенных на рис. 18.

Задача 2. Определить моменты инерции сечения, составленного из простых геометрических фигур, относительно главных централь­ных осей по данным одного из вариантов, приведенных на рис. 19.

Рис 18

Рис 19