Практическая работа № 1 Определение внутренних сил в стержнях фермы (аналитически и графически)

Задачу можно решать двумя способами: аналитиче­ским и графическим.

Аналитическое решение.

1. Обозначают узлы и стержни фермы. Узлы можно обозначить буквами, а стержни – цифрами. Порядок обозначения произвольный.

2. Определяют величины углов между стержнями в каждом узле, используя геометрическую схему фермы.

3. Мысленно вырезают узел, в котором сходятся два стержня. Определяют усилия в этих стержнях в следу­ющем порядке:

а) стержни заменяют усилиями в них. Усилия приня­то обозначать буквой S с подстрочным индексом, ука­зывающим номер стержня, в котором определяется уси­лие. Удобнее узел показать на отдельном рисунке, при­держиваясь масштаба при изображении углов;

б) выбирают систему координатных осей. Начало ко­ординат совмещают с точкой пересечения всех стерж­ней. Одну из осей совмещают с одним из неизвестных усилий, а вторую проводят перпендикулярно первой. Мо­жно оси располагать традиционно: одну вертикально, другую горизонтально. Каждый из приемов имеет свои преимущества и недостатки;

в) составляют уравнения равновесия:

1) ΣX = 0; 2) ΣΥ = 0.

Решают их и находят неизвестные усилия.

4. Вырезают поочередно все узлы фермы, причем каж­дый вырезанный узел должен иметь не более двух неиз­вестных усилий. Порядок определения остается таким же, как для первого узла. В задачах расчетной работы требуется рассмотреть 3 – 4 узла.

Графическое решение

(проверка аналитического решения)

1. Вычерчивают геометрическую схему фермы строго в масштабе. Масштаб выбирается произвольно и определяется размерами чертежа. Начать можно с масшта­ба, например 1:50.

2. Выбирают масштаб сил. Рекомендации по выбору масштаба сил дать трудно. Начать можно с масштаба: в 1 см 5 или 10 кН. При неудачной попытке масштаб сле­дует изменить.

3. Мысленно вырезают узел, в котором сходятся два стержня. Определяют усилия в этих стержнях в следую­щем порядке:

а) обозначают стержни и усилия, как при аналитиче­ском решении;

б) определяют усилия в стержнях первого узла. Для этого в принятом масштабе сил откладывают известную по величине и направлению силу, приложенную в узле. Затем через начало и конец вектора, изображающего силу, проводят две линии, параллельные стержням, в ко­торых отыскиваются усилия, до взаимного их пересече­ния. Измеренные в масштабе сил отрезки (стороны тре­угольника) дают величину усилия в стержне, параллель­ном этому отрезку;

в) определяют знак усилия. Устанавливают направ­ление действия усилия на силовом треугольнике. Для системы сил, находящейся в равновесии, все стрелки в нем должны быть направлены в одну сторону. На­ правление обхода треугольника определяется направле­нием действия силы. Перенесем полученное направление усилия на узел. Если при этом усилие направлено к уз­лу, то стержень будем считать сжатым, а если от узла — растянутым.

4. Рассматривают следующий узел. Это будет узел, в котором сходятся два неизвестных усилия. Сначала откладываем известные по величине и направлению уси­лия в масштабе сил. Через начало первого и конец последнего усилия проводим линии, параллельные стерж­ням, усилия в которых неизвестны, до взаимного пересе­чения. Полученные стороны многоугольника сил, изме­ренные в масштабе сил, представляют величины неизве­стных усилий. Знак усилий определяется по правилам, приведенным для первого узла.

Каждым следующим вырезаемым узлом является тот, в котором сходятся не более двух неизвестных уси­лий. Сравниваем результаты решения задачи обоими спо­собами: аналитическим и графическим.

Пример. Определить усилия в стержнях консольной фермы, показанной

на рис. 1, а, аналитическим и графическим способом. Рассмотреть три узла.

Рис.1

Решение: 1. Обозначим узлы А, В, С, D_t E и стерж­ни 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2. Определим углы между стержнями в каждом узле (рис. 1,б).

из треугольника AMD:

; α = 16°42'

из треугольника АМЕ;

β = 5°43';

α + β = 16° 42' + 5° 43' =22° 25';

из треугольника АКВ:

δ = 180° - 90° - а = 90° - 16° 42' = 73° 18';

θ = 180°- δ = 180° - 73° 18' = 106° 42';

из треугольника АКС:

γ = 180° - 90° - β = 90° - 5° 43' = 84° 17';

из треугольника CND:

; ω = 35°; ω + β = 35° + 5° 43' = 40° 43'.

По условию задачи требуется рассмотреть три узла, поэтому углы φ,η и λ для решения не потребуются.

3. Вырезаем, узел А, в котором сходятся два стержня 1 и 2. Определяем усилия в этих стержнях:

а) заменяем стержни усилиями S₁ и S ₂ (рис. 1 ,в);

б) выбираем систему координат. Ось х совместим с неизвестным усилием S₁, а ось у направим перпендику­лярно к оси х. Укажем углы между усилиями (или со­ответствующими им стержнями) координаты осями (рис. 1,в);

в) составляем уравнения равновесия:

1) ΣХ = 0; 2) ΣΥ = 0.

Первое уравнение для узла А запишем так:

- S₁ - S₂ cos 22°25'- F₁ cos 84° 17' = 0,

второе:

S₂ cos 67° 35' – F₁ cos 5° 43' = 0.

Из второго уравнения находим

S₁= кН

Из первого уравнения находим S₁.

S₁ = – S₂ cos 22^o 25' – F₁cos 84^o 17' = – 26.1 * 0.924 –10* 0.0996 = – 25.1 кН.

Знак «плюс» свидетельствует о том, что стержень 2 растянут, а «минус» — стержень 1 сжат.

4. Рассмотрим узел В (рис. 1,г). В нем сходятся два стержня 3 и 4, усилия в которых неизвестны. Ось х со­вместим с неизвестным усилием 5₃. Составим уравнения равновесия:

ΣХ = — 5₃ + S₂ + S₄ cos 73° 18' = 0;

ΣΥ=—S₄cos 16° 42' =0.

Из второго уравнения видно, что S₄ = 0, так как cosl6°42^/ не может быть равен нулю. С правилами оп­ределения стержней, усилия в которых равны нулю (нулевые стержни), без составления уравнений можно ознакомиться по замечанию к расчету ферм. Из первого уравнения находим

S₃ = S₂ = 26,1 кН.

5. Рассмотрим узел С. В нем сходятся два стержня 5 и 6, усилия в которых неизвестны. Ось х совместим с неизвестным усилием S₆ и укажем углы между усилия­ ми и координатными осями (рис. 1,(д). Составим урав­нения равновесия. Уравнения для узла С примут вид:

первое ΣX =— S_e – S₁ — S₅ cos 40° 43' + S₄ cos 84° 17' — F₂ cos 84° 17' = 0;

второе ΣΥ = S₅ cos 49° 17' + S₄ cos 5° 43' — F₂ cos 5° 43' = 0.

Помня, что S₄ = 0, из второго уравнения найдем

S₅= F₂co_S5°43' cos 49⁰17^/ = кН

Из первого уравнения найдем S₆:

S₆ = S₁ — S₅ cos 40° 43'^/ — F₂ cos 84° 17'^´ =—25,1 —30,5-0,758 — 20-0,0996 =—50,2 кН.

Графическое решение

1. Вычерчиваем ферму в масштабе, например 1 : 50 (рис. 2,а).

2.Выбираем масштаб сил, например в 1 см 10 кН.

3.Мысленно вырезаем узел А. Определим усилия в стержнях 1 и 2:

а) обозначим усилия в стержнях S₁ и S₂;

б) из произвольной точки а проводим отрезок ab, параллельный и равный в принятом масштабе силе F₁. Через точки а и b проводим линии, параллельные стер­жням 1 и 2 до взаимного пересечения (рис. 2, б). Полу­ченные отрезки bс и ас, измеренные в масштабе сил, дают соответственно усилия S₁, и S₂ в стержнях 1 и 2. Длина отрезка bс равна 2,5 см, следовательно, S₁ = = 2,5-10=25 кН. Длина отрезка ас равна 2,6 см, S₂ = = 2,6-10 = 26 кН;

в) определим знаки усилий. Направление силы F₁ известно — она направлена вниз. Поставим стрелки на отрезках bс и са так, чтобы они были направлены в од­ну сторону. Перенесем направление усилия S₁ на стер­жень 1 (см. рис. 2,а), оно направлено к узлу, т.е. стержень 1 сжат. Усилие S₂ при таком переносе направ­лено от узла, т. е. стержень 2 растянут.

4. Вырезаем узел В. Из точки d (рис. 2, в) проведем известное усилие S₂. Через концы отрезка (точки d и е) проводим линии, параллельные стержням 3 и 4. Из по­строения следует, что S₄ = 0, a S₃ = S₂ = 26 кН.

5. Вырезаем узел С. Из точки п (рис. 2, г) последо­вательно проведем линии, параллельные уже известным усилию S₁ и силе F₂ в принятом масштабе. Через точки k и п проводим линии, параллельные стержням 5 и б до взаимного пересечения в точке m.

Рис.2

Отрезки km и mп, из­меренные в масштабе сил, дают величины усилий S₅ == 3,05 ·10 = =30,5 кН и S₆ = 5 · 10=50 кН. Определим зна­ки усилий. Все стрелки на силовом многоугольнике nfkm расставим против часовой стрелки. Это определе­но направлением усилия S₁ и силы F₂. Перенесем на­правление усилия S₅ на стержень 5 в узле С; оно будет направлено от узла, т.е. стержень 5 растянут. Перене­сем направление усилия S₆ на узел С, оно будет на­правлено к узлу, т.е. стержень 6 сжат.

Составим сравнительную таблицу усилий, найден­ных аналитическим и графическим способами (табл.1).

Таблица 1. Усилия в стержнях фермы

Усилия	S1	S2	S3	S4	S5	S6
Аналитическое решение	-25,1	26,1	26,1	0	30,5	-50,2
Графическое решение	-25	26	26	0	30,5	-50

Очевидно, что аналитический способ более точен.

Задание для расчетно-графической работы 1. Определить уси­лия в стержнях консольной фермы аналитическим и графическим способами по данным одного из вариантов, приведенных на рис. 3. В заданиях с нечетными вариантами рассмотреть три узла, а в за­даниях с четными — четыре узла, начиная от свободного конца.

Рис.3