Практическая работа № 5

Определение сил в стержнях простейшей статически неопределимой системы.

1. Мысленно отбрасывают стержни и заменяют их усилиями в стержнях. Усилия обозначают Ni и N₂.

2. Устанавливают степень статической неопределяемости системы. Под действием нагрузки или других воз­действий в системе возникнут три неизвестных V_A, N\ и Л^Г2. Для системы параллельных сил можно составить два независимых уравнения равновесия, например урав­нение моментов относительно точек А и В. Таким обра­зом, при трех неизвестных имеем два уравнения. Для решения не хватает одного уравнения. Такая задача на­зывается один раз статически неопределимой. По усло­вию задачи не требуется определения реакции V_A не­подвижной опоры А, поэтому из решения следует исклю­чить уравнение, в которое войдет эта реакция. Таким образом, остается одно уравнение моментов относитель­но неподвижной опоры, которое содержит два неизвест­ных. Составление уравнения равновесия называется ста­тической стороной задачи.

3. Устанавливают зависимость между деформация­ми стержней. Для этого вычерчивают деформированную схему системы, в которой показывают систему до и по­сле деформации. На схеме показывают удлинения (уко­рочения) каждого стержня, между которыми всегда можно установить зависимость, рассматривая, напри­мер, подобие треугольников. Выраженная некоторой формулой, она называется уравнением совместности де­формации системы. Полученная зависимость между де­формациями представляет собой геометрическую сторо­ну задачи.

4. Выражают удлинения (укорочения) стержней в уравнении совместности деформации через усилия в этих стержнях. Для этого используют закон Гука:

где — удлинение или укорочение стержня, м или см; N — усилие, возникающее в стержне, кН или МН; Е — модуль деформации для стали 210⁵ МПа = 2-10⁷ Н/см²; А — площадь поперечного сечения стержня, м² или см^?.

В результате такой подстановки получают еще одну зависимость между усилиями N₁ и N₂. Она является не­достающим уравнением к уравнению статики. Получен­ная зависимость отражает физическую сторону задачи.

Имея теперь два уравнения, определяют неизвестные усилия.

Пример. Определить усилия в стержнях ВС и DK, поддерживающих брус AG, как показано на рис. 12, с.

Решение: 1. Отбросим стержни и заменим их усили­ями N₁ и N₂ (рис. 12, а).

2. Статическая сторона задачи. Составим уравнение равновесия статики

ΣМ_А = 0,

или F · 4,5a — N₂·3,5a — N₁2a = 0,

откуда 2N₁ + 3, 5N₂ = 4, 5F. (a)

Задача один раз статически неопределима.

3. Геометрическая сторона задачи. Изобразим де­формированную схему системы (рис. 12,6), Поскольку брус абсолютно жесткий, он не деформируется, а только поворачивается относительно точки А. Из подобия треугольников АВВ₁, и ADD₁ видно, что

откуда

(б)

4. Физическая сторона задачи. Выразим деформации стержней уравнения (б) через закон Гука:

Подставим значения длин и жесткостей стержней при­веденные на рис. 12,а: l₁₌=2l; Е₁=Е; А₁ = А; l₂ = l; E₂=Е; А₂ = 2А; получим

откуда N_l = 1/7N₂ (в)

Подставим уравнение (в) в уравнение (а)

3.5N₂ + 2 N₂ = 4,5F,

или 26,5N₂ =31,5F,

откуда N₂= =35,66 кН.

Рис. 12

Из уравнения (в) найдем значение второго усилия

N₁ = N₂ = = 5,09 кН.

Ответ: N₁= 5,09 кН; N₂ = 35,66 кН.

Пример. Определить усилия в стержнях ВС и DK, поддерживающих брус DA, показанный на рис. 13, а, ес­ли стержень DK изготовлен короче проектной длины на о = 0,001l. Материал — сталь, £ = 2-10⁵ МПа. А =5 см².

Решение: 1. Обозначим усилия в стержнях N₁ и N₂.

2..Статическая сторона задачи. Составим уравнение равновесия

ΣМ_А=0,

:или N₂2a + N₁· a = 0,

откуда N₁ = 2N₂. (a)

3..Геометрическая сторона задачи. Покажем дефор­мированную схему системы (рис. 13,6). Если бы не бы­ло стержня ВС, то брус AD занял бы положение AD₂,т.е. точка D переместилась в положение D₂, причем DD₂=

Однако стержень ВС уменьшает величину этого перемещения, и точка D займет какое-то промежу­точное положение, например D₁, а точка В — положе­ние В₁.

Рис.13

Из подобия треугольников АВВ₁ и ADD₁ находим

а/2а,

откуда и (б)

На рис. 13,6 видно, что

4. Физическая сторона задачи. Выразим и через закон Гука, тогда

и

Подставим эти выражения в уравнение (б)

откуда 0,001EF = 1,5N₂ + 2N₁.

Учитывая уравнение (а), получим

0,001EF= l,5-N₂ + 2-2N₂,

или 0,001EF = 5,5N₂,

откуда МН= 18,18 кН.

Из уравнения (а) найдем

N₁ = 2N₂ = 36,36 кН.

Ответ: N₁ = 36,36 кН; N₂ = 18,18 кН.

Оба стержня испытывают растяжение.

Пример . Определить усилия в стержнях ВС и DK, поддерживающих брус AD, как показано на рис. 14, а, если температура стержня ВС увеличится на 20°С. Ма­териал— сталь, α = 12-10 ^-6; Е= 2-10⁵ МПа, площадь сечения А = 5 см².

Решение: 1. Заменяем стержни усилиями в стержнях N₁ и N₂.

2. Статическая сторона задачи. Уравнение равновесия статики

ΣМ_А= 0

или N₁ а — N₂ За = 0,

откуда N₁ = 3N₂.

3. Геометрическая сторона задачи. Покажем дефор­мированную схему системы (рис. 14,6). Если бы стерж­ня DK не было бы, то точка D вследствие удлинения стержня ВС от увеличения температуры переместилась бы в положение D₂. Стержень DK не дает возможности точке D переместиться в положение D₂, и она займет ка­кое-то промежуточное положение D_1, т. е. стержень DK укоротится на величину DD₁, которую обозначим через . Стержень ВС удлинится на величину ВВ_1, которую обозначим .

Из подобия треугольников ABB₁ и ADD₁

откуда , (б)

где .

4. Физическая сторона задачи. Выразим , и через усилия в стержнях:

Подставим длины и жесткости стержней (рис. 14, а): l= 2l; A₁= 2A; l₂ = l; A₂=A, тогда

; и

Подставим эти значения в выражение для :

и Подставим и в уравнение (б):

откуда N₂+3N₁ = (в)

Рис. 14

Подставив уравнение (а) в уравнение (в), получим

N₂ + 9N₂=

Откуда Н= 14, кН где Е = 2-10⁵ МПа = 2- 10⁵10⁶ Н/10⁴ см² = 2-10⁷ Н/см².

Из уравнения (а) найдем

N₁ = 3N₂ = 3 ·14,4 = 43,2 кН.

Ответ: N₁= 43,2 кН, стержень сжат; N₂ = 14,4 кН, стержень тоже сжат, так как усилия на рис. 14 направ­лены к брусу.

Задание для расчетно-графической работы № 4.

Определить усилия в стержнях системы, поддерживающей абсо­лютно жесткий брус по данным одного из вариантов, показанных на рис. 15:

а) в вариантах 1—10 от силы F;

б) в вариантах 11—20 один из стержней изготовлен короче про­ектной длины на , материал—сталь, А=10 см²;

в) в вариантах 21—30 один из стержней изготовлен длиннее проектной длины на , материал — сталь, А = 5 см²;

г) в вариантах 31—36 температура одного из стержней увели­ чилась на , материал — сталь, А = 10 см².

Рис.15