
Математические формулы
Действия над многочленами
–
(a
+ b
– c)x=–ax
– bx
+ cx;
(a
+ b
– c)(x
+ y)=ax
+ ay
+ bx
+ by
– cx
– cy
Дроби
;
;
;
;
;
Формулы сокращённого умножения
2=
a2
± 2ab + b2
(a ± b)3
= a3
± 3ab2
+ 3a2b
± b3
a2
– b2
= (a–b)(a+b)
a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ± ab + b2)
Степени
Корни
Система двух уравнений первой степени
Квадратное уравнение
общего вида: с чётным 2–м коэффициентом
приведённое разложение трёхчлена на множители
теорема Виета для приведённого уравнения
Неравенства второй степени
D=b2–4ac |
a>0 |
график |
|
ax2 + bx + c>0 |
ax2 + bx + c<0 |
||
D>0 x1<x2 |
x<x1 x>x2 |
x1<x<x2 |
|
D=0 x1=x2 |
x<x1 x>x1 |
нет решений |
|
D<0 корней нет |
x
|
нет решений |
|
Неравенства с переменной в знаменателе дроби
1. Неравенство сводиться к системам: 2.Неравенство сводится к системам:
1)
2)
1)
2)
Прогрессии
Арифметическая прогрессия
Общий член
d
– разность прогрессии, т.е.
или
Сумма n
– первых членов
или
Геометрическая прогрессия
Общий член
где q
– знаменатель прогрессии
сумма членов бесконечно
Свойства
геометрической прогрессии:
убывающей прогрессии:
Сумма n
– первых членов
или
Логарифмы
Логарифмом числа
b
по основанию a
называется показатель степени c,
в которую нужно возвести основание a,
чтобы получилось число b.
Основное
логарифмическое тождество:
Свойства логарифмов:
;
;
;
;
;
;
;
;
ЗАМЕЧАНИЕ: все числа a , b , x , y – принимают положительные значения, а если они стоят в основании логарифма, то не равны единице.
Показательные уравнения
1. уравнения вида:
1) при b<0,
уравнение решения не имеет
2)
при
3) при
уравнение можно решить логарифмируя
по основанию а,
2. уравнения вида:
выражение,
находящиеся в скобках уравнения (2),
является величиной постоянной; обозначим
эту величину буквой N,
тогда уравнение (2) примет вид
,
при N
≠ 0 имеем:
3. уравнение вида:
(1) с помощью подстановки
обращается в обычное квадратное уравнение
,
где y1
и y2
– корни. Далее решение уравнения (1)
сводится к решению двух уравнений: 1)
2)
4. уравнение вида:
легко привести к виду уравнения (1) из
3.
разделив это
уравнение на
:
С помощью подстановки
,
уравнение принимает вид:
и сводится к решению двух уравнений: 1)
2)
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
1.
1) при
2) при
аналогично для
неравенства
.
2. для неравенства
вида
решение сводиться к решению систем:
1)
2)
3)
4)
аналогично для
неравенства:
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
1. неравенство вида
сводится к решению одной из систем:
1) при a>1
2) при 0<a<1
аналогично для неравенства:
2. неравенство вида
сводиться к решению двух систем:
1)
2)
аналогично для неравенства
ПРОИЗВОДНАЯ
значение
производной функции в точке
равно угловому коэффициенту касательной
к графику функции в этой точке.
– уравнение касательной к графику
функции
в точке
ФОРМУЛЫ ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Определение
Радианная мера углов 1радиан
= 1800/π
≈57,295779520;
10 = π/1800 радиан ≈ 0,001745 рад.
Знаки тригонометрических функций
|
sin α |
cos α |
tg α |
ctg α |
0< α <π/2 |
+ |
+ |
+ |
+ |
π/2< α < π |
+ |
– |
– |
– |
π< α <3π/2 |
– |
– |
+ |
+ |
3π/2< α <2π |
– |
+ |
– |
– |
Значения функций характерных углов
радианы |
0 |
π/6 |
π/4 |
π/3 |
π/2 |
π |
3π/2 |
2π |
градусы |
00 |
300 |
450 |
600 |
900 |
1800 |
2700 |
3600 |
sin α |
0 |
½ |
√2/2 |
√3/2 |
1 |
0 |
–1 |
0 |
cos α |
1 |
√3/2 |
√2/2 |
½ |
0 |
–1 |
0 |
1 |
tg α |
0 |
√3/3 |
1 |
√3 |
∞ |
0 |
∞ |
0 |
ctg α |
∞ |
√3 |
1 |
√3/3 |
0 |
∞ |
0 |
∞ |
Формулы приведения. Чётность.
аргумент |
функция |
sin |
cos |
tg |
ctg |
–α |
–sinα |
cosα |
–tgα |
–ctgα |
|
π/2 ± α |
cosα |
|
|
|
|
π ± α |
|
–cosα |
|
|
Основные соотношения
sin2α + cos2α = 1; tgα · ctgα = 1; tgα = sinα/cosα = 1/ctgα; ctgα = cosα/sinα = 1/tgα;
1 + tg2α = 1/cos2α; 1 + ctg2α = 1/sin2α; secα = 1/cosα; cosecα = 1/sinα;
Периодичность
функции sinα и cosα имеют период 2π, а функции tgα и ctgα – период π.
sin(α
+ 2πn)
= sinα,
nZ;
cos(α
+ 2πn)
= cosα,
n
Z;
tg(α
+ πn)
= tgα,
n
Z;
ctg(α
+ πn)
= ctgα,
n
Z;
Формулы для суммы и разности аргументов.
sin(α
± β)
= sinα
· cosβ
± cosα
· sinβ;
cos(α
± β)
= cosα
· cosβ
sinα
· sinβ;
tg(α
± β)
= (tgα
± tgβ)
/ (1
tgα
· tgβ);
ctg(α
± β)
= (ctgα
· ctgβ
1) / (ctgβ
± ctgα);
Функции двойных углов
sin2α = 2sinα · cosα; cos2α = cos2α – sin2α = 1–2sin2α = 2cos2α – 1; tg2α = 2tgα / (1–tg2α);
ctg2α = (ctg2α – 1) / 2ctgα;
Функции половинного угла
sin(α/2) =
±
cos(α/2) = ±
tg(α/2) = ±
2sin2(α/2) = 1 – cosα; 2cos2(α/2) = 1 + cosα; sin2α = (1–cos2α) / 2
Функции полного угла
sinα = 2tg(α/2) / (1+ tg2(α/2)); cosα = (1–tg2(α/2)) / (1+tg2(α/2)); tgα = 2tg(α/2) / (1–tg2(α/2));
Функции тройного угла
sin3α = 3sinα – 4sin3α; cos3α = 4cos3α – 3cosα;
Произведения тригонометрических функций
sinα · cosβ = ½ · (sin(α + β) + sin(α – β)); cosα · cosβ = ½ · (cos(α + β) + cos(α – β));
sinα · sinβ = ½ · cos(α – β) – cos(α + β));
Сумма и разность тригонометрических функций
sinα + sinβ = 2 · sin((α + β)/2) · cos((α – β)/2); sinα – sinβ = 2 · sin((α – β)/2) · cos((α + β)/2);
cosα + cosβ = 2 · cos((α + β)/2) · cos((α – β)/2); cosα – cosβ = 2 · sin((α + β)/2) · sin((α – β)/2);
tgα ± tgβ
= sin(α ± β) / (cosα · cosβ); cosα ± sinα =
;
Тригонометрические уравнения
sinα = a,
α = (–1)n
· arcsin a + π·n, nZ;
cosα = a, α = ± arccos a + 2π, n
Z;
tgα = a,
α = arctg a + π·n, nZ;
ctgα = a, α = arcctg a + π·n, n
Z;
Частные случаи
sin x = ±1,
x = ± π/2 + 2π, nZ;
sin x = 0, x = πn, n
Z;
cos x = –1, x = π + 2πn, n
Z;
cos x = 0,
x = π/2 + πn, nZ;
cos x = 1, x = 2πn, n
Z;
Обратные тригонометрические функции отрицательного аргумента
arcsin(–α) = –arcsinα; arccos(–α) = π – arccosα; arctg(–α) = –arctgα; arcctg(–α) = –arcctgα;
ГЕОМЕТРИЯ
МЕТОД КООРДИНАТ
Пусть на (i,
j,
k)
заданы
,
тогда операции над ними будут равны:
;
Пусть A
( x1;
y1;
z1);
B
(x2;
y2;
z2);
тогда:
вектор;
модуль вектора
ТРЕУГОЛЬНИК
внешний
угол СВД
=
;
К – точка пересечения высот (ортоцентр
треугольника). ha,
hb,
hc
– высоты треугольника на соответствующие
стороны.
где полупериметр
.
М
– точка пересечения медиан треугольника
(центр тяжести).
ma, mb, mc – медианы на соответствующие стороны. МВ:МД=МА:МЕ=МС:МК=2/1
Т
– точка пересечения биссектрис
треугольника (центр вписанной окружности).
La,
Lb,
Lc
– биссектрисы соответствующих углов.
ВМ:МС = АВ:АС
r
– радиус вписанной окружности. О –
точка пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника
(центр описанной окружности). Радиус
описанной окружности:
где
SΔ
– площадь треугольника; p
– периметр треугольника; hc
–
высота опущенная на соответствующую сторону с. На всех 4–х нарисованных треугольниках стороны одинаково обозначены, просто на 1–м они обозначены, а на остальных они опущены для упрощения рисунка. И вообще подразумевается, что все 4 треугольника абсолютно одинаковые.
MN
– средняя линяя треугольника. MN=0.5AC;
MN║AC.
ТЕОРЕМА СИНУСОВ
где R
– радиус описанной окружности.
ТЕОРЕМА
КОСИНУСОВ
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
где
–
длины сторон
треугольника, а
–
высоты, опущенные
на соответствующие стороны.
– формула Герона.
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
тогда площадь
ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
а и b – катеты, с – гипотенуза, ас и bc – проекции катетов на гипотенузу.
а2 + b2 = c2 – теорема Пифагора.
S=
a·b/2
= c·hc/2;
– радиус вписанной окружности.
R
= c/2,
– радиус описанной окружности.
sinA
= a/c; cosA = b/c; tgA = a/b; ctgA = b/a; b2
= c·bc;
a
= c·sinA = c·cosB = b·tgA = b·ctgB; c = a/sinA = a/cosB = 2R;
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
ПРЯМОУГОЛЬНИК
РОМБ
КВАДРАТ
ТРАПЕЦИЯ
а
и b
–
основания, h
– высота
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
Длина окружности с =2πR. Площадь круга S = πR2 = πD2/4.
Длина дуги l = π·R·α/1800. Площадь сектора S = π·R2·α/3600.
где α – величина угла дуги в градусах.
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК И КРУГ
Свойство вписанного
четырёхугольника:
ac + bd = ef, где a,b,c,d – стороны, e,f – диагонали.
Свойство описанного четырехугольника: a + c = b + d;
S = p·r, p – полупериметр.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Внутренний угол
где
n
– число сторон. an
= 2R·sin(1800/n);
Sn = ½ ·n·an·r; Sn = ½ ·Pn·r; r = R·cos(1800/n);
ШЕСТИУГОЛЬНИК
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ПРИЗМА
Боковая поверхность наклонной призмы Sб.п. = P1·l, где P1 – периметр перпендикулярного сечения, l – ребро призмы. Боковая поверхность прямой призмы Sб.п. = Pосн ·l; Объём призмы Vпр=Sосн·h;
ПИРАМИДА
I.
Если боковые рёбра
пирамиды равнонаклонены к плоскости
основания (их длины равны), то высота
проходит через центр окружности описанной
около многоугольника основания.
II. Если боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания (длины апофемы равны), то высота проходит через центр окружности, вписанной в многоугольник основания.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Sб.пир.= ½ ·Pосн·ha , где ha – апофема.
Sб.пир.= Sосн /cosα , где α – угол наклона боковой грани к основанию.
Объём пирамиды: Vпир= ⅓·Sосн·h, где h – высота пирамиды.
Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды: Sбок= ½ ·(P1+P2)·ha , где P1, P2 – периметры оснований (верхнего и нижнего); ha – апофема.
Объём усечённой
пирамиды:
где
Q1
и Q2
– площади оснований.
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
ЦИЛИНДР
Площадь боковой поверхности: Sбок =2·π·R·h; Площадь всей пов–ти: S=2·π·R·(R + h); Объём: V = πR2·h;
КОНУС
Площадь пов–ти конуса: боковой Sб=πrl; полной Sп=πr ·(r + l); где l – образующая. Объём: V=πr2h/3;
УСЕЧЁННЫЙ КОНУС
Площадь боковой пов–ти: Sб.у.к.= π·l·(R + r); Объём: V=⅓·π·h(R2 + r2 +Rr); угол развёртки: α=(R–r)/l;
ШАР
Площадь пов–ти сферы: Sсф=4πR2; Объём шара: Vш=4/3·πR 3;
ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)