2.1.6. Мостик Уитстона

Сопротивление проводника наиболее просто можно измерить при помощи амперметра и вольтметра. Если I - сила тока в амперах, показываемая амперметром, а U - напряжение в вольтах на концах проводника, измеряемое вольтметром, то сопротивление проводника R в омах равно . При этом предполагается, что ток, ответвляющийся в вольтметр, мал по сравнению с током в проводнике. Погрешность этого метода определяется погрешностями амперметра и вольтметра и обычно бывает не очень велика, порядка ~ 1%. (Более подробно этот метод проанализирован в лабораторной работе “Определение удельного сопротивления нихромовой проволоки”). Поэтому для точного измерения сопротивлений применяют метод сравнения сопротивлений, не требующий измерения тока и напряжения. Он осуществляется с помощью так называемой мостовой схемы (моста Уитстона), изображенной на рисунке.

Мостовая схема представляет собой замкнутую цепь, образованную четырьмя последовательно соединенными сопротивлениями R₁, R₂, R₃, R₄, называемыми плечами моста. К одной из диагоналей моста, например, АВ, подключают источник тока. В другую диагональ (для данной схемы это СD), включают чувствительный измерительный прибор G, называемый “нуль-гальваномет-ром”, который предназначен для регистрации тока через измерительную диагональ .

Если схема питается постоянным током, то такой мост называется мостом постоянного тока и предназначен для измерения активных или омических сопротивлений.

Применим к мостовой схеме правила Кирхгофа. Для этого обозначим величины токов в плечах моста через I₁, I₂, I₃, I₄, а ток через гальванометр через I₅.

В соответствии с первым правилом Кирхгофа для узлов С и D имеем:

, (2.19)

. (2.20)

Рассмотрим контуры АСD и СВD. Выберем направление обхода контуров “по часовой стрелке”. В соответствии со вторым правилом Кирхгофа получаются уравнения

, (2.21)

. (2.22)

Для мостовой схемы характерно состояние, называемое равновесием или балансом моста, когда через измерительную диагональ ток не протекает, то есть I₅ = 0. В этом случае уравнения (2.19) - (2.22) принимают вид

, (2.19а)

, (2.20а)

, (2.21а)

. (2.22а)

Разделив почленно уравнения (2.21а) и (2.22а) и учитывая условия (2.19а) и (2.20а), нетрудно получить соотношение между сопротивлениями

. (2.23)

При балансе моста любое сопротивление одного плеча может быть выражено через три сопротивления других плеч моста:

. (2.24)

2.1.7. Классическая теория электропроводности металлов.

Классическая теория электропроводности, разработанная Друде и Лоренцем, позволяет объяснить экспериментальные законы Ома и Джоуля-Ленца с микроскопической точки зрения. В теории предполагается, что движение электронов подчиняется законам классической механики. Кроме того, в этой теории пренебрегается взаимодействием электронов между собой, а взаимодействие электронов с положительными ионами металла сводится только к соударениям. Следовательно, электроны проводимости можно рассматривать как электронный газ, подобный идеальному газу в молекулярной физике. Средняя скорость хаотического теплового движения вычисляется, как для идеального газа, по формуле

, (2.25)

в которой k - постоянная Больцмана, T - абсолютная температура, m - масса электрона.

При включении электрического поля на каждый электрон начинает действовать сила, равная , где е - заряд электрона. По второму закону Ньютона ускорение, вызванное действием поля, равно . Электрон ускоряется в течение времени t между двумя последовательными соударениями. Расстояние, которое проходит электрон за это время, называется длиной свободного пробега . К концу свободного пробега электрон приобретает скорость, называемую скоростью дрейфа, . Средняя скорость дрейфа электрона при равноускоренном движении . Подставим это выражение в формулу (2.3) и учтем формулу :

.

Видно, что плотность тока j оказывается пропорциональной напряженности поля E, а это и отражается законом Ома

.

Коэффициент пропорциональности представляет удельное сопротивление r. Сравнивая два последние выражения, получаем:

. (2.26)

Приведем вывод закона Джоуля-Ленца. К концу свободного пробега электроны под действием сил поля приобретают дополнительную кинетическую энергию

,

которая при соударении полностью передается кристаллической решетке металла. Учитывая, что за единицу времени (1 секунду) происходит соударений, а в единице объема содержится n электронов, получим мощность, выделяющуюся в единице объема проводника

.

Сравнивая полученное выражение с законом Джоуля-Ленца (2.14) , получаем формулу для удельного сопротивления , совпадающую с (2.26).