Тригонометрия

§ 1. Синус, косинус, тангенс и котангенс любого угла и числа

Слово «тригонометрия» переводится на русский язык как измерение треугольника. И действительно, в начале это была наука о треугольниках. Да и ваше знакомство с тригонометрией началось с определения тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) острого угла прямоугольного треугольника. Вспомним его.

Определение 1. Чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс острого угла, нужно построить прямоугольный треугольник, имеющий данный острый угол, и найти отношение соответствующих сторон. Именно: синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе; косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе; тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету; котангенс равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету.

Задание 1. Начертите АВС с прямым углом С. Выразите в виде отношения сторон этого треугольника все тригонометрические функции углов A и В. Обратите внимание на их попарное равенство.

Задание 2. Докажите, что значение той или иной тригонометрической функции острого угла не зависит от выбора треугольника, а зависит только от величины угла.

Задание 3. Вспомните доказательство шести основных тригонометрических тождеств, основанное на только что приведенных определениях.

Задание 4. Пусть  - острый угол. Выразите: а) tg через ctg; б) cos через sin; в) sin через ctg ; г) tg через cos .

Задание 5. Вспомните доказательство четырех формул приведения, основанное на только что приведенных определениях.

Задание 6. Используя таблицы в конце этого пособия, найдите значения следующих выражений: sin 80^o, cos 56^o, tg 72^o, ctg 46^o.

Задание 7. Докажите, что тригонометрические функции острого угла  числа положительные, и при этом синус и косинус меньше 1.

Задание 8. Докажите, что тангенс и котангенс острого угла могут быть любыми положительными числами. Докажите, что синус и косинус острого угла могут быть любыми положительными числами, меньшими 1.

Задание 9. У египетского треугольника АВС гипотенуза АВ равна 5, катет ВС равен 4, катет АС равен 3. Вычислите sin A, cos B, ctg A, tg B. Сделайте чертеж.

Задание 10. Начертите равнобедренный прямоугольный треугольник. Обозначьте его катет через 1. Вычислите длину его гипотенузы. Как с помощью этого чертежа можно определить величины тригонометрических функций угла в 45⁰?

Задание 11. Начертите прямоугольный треугольник с острыми углами в 30 и 60 градусов. Обозначьте его меньший катет через 1. Вычислите длину его гипотенузы и длину его большего катета. Как с помощью этого чертежа можно определить величины тригонометрических функций углов в 30⁰ и в 60⁰?

* * *

Следующим шагом в вашем ознакомлении с тригонометрией будет определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла.

Под углом теперь понимается уже не пара лучей, исходящих из одной точки, а мера поворота луча относительно некоторого начального положения. Поворот против часовой стрелки считается положительными, а поворот по часовой стрелке  отрицательным. Такой угол может содержать любое число градусов, например, 1000^о или  2000^о.

Определение 2. Построим в прямоугольной системе координат окружность с центром в начале координат и с единичным радиусом – координатную окружность. Отложим от положительного направления оси абсцисс угол (если он положительный  в направлении против часовой стрелки, а если отрицательный  в направлении по часовой стрелке). Точку пересечения второй стороны угла с окружностью обозначим буквой А. Синусом отложенного угла называется ордината точки А, косинусом  абсцисса точки А, тангенсом отложенного угла называется отношение его синуса к его косинусу, котангенсом  отношение косинуса к синусу.

Задание 12. Выполнив указанные построения, найдите значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла 225⁰.

Задание 13. Докажите, что если углы отличаются друг от друга на целое число полных оборотов, то их синусы равны между собой, косинусы равны между собой, тангенсы равны между собой, котангенсы равны между собой:

sin( +360^оn) = sin , cos ( + 360^on) = cos , tg( + 360^on) = tg, ctg( + 360^on) = ctg, где n  любое целое число: n  Z.

Угол может измеряться не только в градусной мере. Большую ценность имеет радианная мера угла:

1 радиан - это мера центрального угла, соответствующего дуге, имеющей длину, равную радиусу окружности; 1 радиан  57^о; 1^o  0,017 радиана.

Обозначение радианной меры указывать не принято. Запись sin 30 читается "синус угла в 30 радиан" (не путать с sin 30^о!).

Задание 14. Вспомните, что такое число , и переведите в радианную меру: 360^о, 90^о, 45^о, 60^о.

Задание 15. Переведите в градусную меру: 2, , , 1,25.

Задание 16. Сделайте себе справочную табличку по тригонометрии, пользуясь черным, синим и красным цветами. Начертите на клетчатой бумаге прямоугольную систему координат: ось абсцисс красного цвета, ось ординат синего цвета,  взяв единичный отрезок в 5 см (10 клеток). Начертите черным цветом окружность с центром в начале координат и радиусом 5 см. Ось абсцисс обозначьте не х, а cos x, ось ординат  не у, а sin x, соответственно красным и синим цветом. Все обозначения вдоль осей и вдоль окружности делайте такими же цветами. Вдоль окружности внутри нее отметьте градусные меры углов: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315, 330, 360 градусов. Вне окружности рядом с этими метками тоже черным цветом надпишите радианные меры тех же углов. Проецируя отмеченные на окружности точки на оси координат, надпишите соответствующим цветом значения синусов и косинусов: 0, , , , 1, , , ,  1. На оси абсцисс вашего чертежа будут отмечаться косинусы, а на оси ординат  синусы углов.

Задание 17. Потренируйтесь в работе со сделанной таблицей: 1) переведите в радианную меру 315^о ; 2) переведите в градусную меру ; 3) найдите sin 240^о ; 4) найдите cos ; 5) найдите tg 150^о; 6) найдите ctg ; 7) определите знак косинуса в IV четверти; 8) определите знак котангенса в III четверти.

Задание 18. Определите, какие значения могут принимать sin x и cos x.

Задание 19. Определите, для каких углов не существует тангенс или котангенс.

Задание 20. Найдите корни уравнения 1) sin x = 1; 2) cos x =  1.

Задание 21. Проведите через точку (1;0) вертикальную прямую и постройте на ней координатную прямую с началом в точке (1;0), и положительным направлением вверх. Докажите, что эта прямая является линией тангенсов, найдя правило, по которому можно строить на ней тангенс любого угла из () числовой окружности.

Задание 22. Найдите с помощью линии тангенсов tg 0,25; tg ; tg 1,25; tg1,75.

Задание 23. Проведите через точку (0;1) горизонтальную прямую и постройте на ней координатную прямую с началом в точке (0;1) и положительным направлением вправо. Докажите, что эта прямая является линией котангенсов, найдя правило, по которому можно строить на ней котангенс любого угла из (0;π) числовой окружности.

Задание 24. С помощью линии котангенсов найдите ctg 0,5; ctg 0,75; ctg (0,25).

Задача 1. Докажите, что sin(x) =  sin x, cos(x) = cos x, tg(x) =  tg x,

ctg(x) =  ctg x. Укажите ОДЗ (область допустимых значений переменных) для каждой из этих формул.

Задача 2. Исходя из определения синуса и косинуса любого угла, докажите первое из основных тригонометрических тождеств. Укажите ОДЗ для этой формулы.

Задача 3. Докажите остальные пять основных тригонометрических тождеств. Укажите ОДЗ для каждой из этих формул.

* * *

Качественный рывок, который мы сейчас совершим, заключается в переходе от синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу любого числа. Это раскроет перед нами новые возможности.

Во-первых, станет возможным рассматривать композицию тригонометрических функций, например, такую, как sin cos x или sin (х² + 5).

Задание 25. Объясните, почему до сих пор было нельзя рассматривать указанные функции.

Кроме, того, мы получаем возможность строить графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. До сих пор такой возможности у нас не было. В математике график строят в прямоугольной системе координат с одинаковыми координатными осями. Какая единица выбрана на оси абсцисс, такая должна быть и на оси ординат. А как можно построить график у = sin x, если х  угол, а у  число? Это физики могут строить графики, у которых на одной оси  время в секундах, а на другой  путь в метрах. Они так используют математический аппарат. Но в математике это не принято.

Определение 3. Синусом (косинусом, тангенсом, котангенсом) числа х называется синус (косинус, тангенс, котангенс) угла в х радиан.

Задание 26. Найдите синус числа , косинус числа 1, тангенс числа 0.

Теперь мы можем считать синус, косинус, тангенс и котангенс функциями числового аргумента. Теперь для нас tg   это не только тангенс развернутого угла, но и тангенс числа 3,14159... : tg   tg 3,14.

Очень важно, что ранее выведенные формулы тригонометрии остаются верными и в новой ситуации. Докажем это.

По введенному определению, синус числа х равен синусу угла в х радиан, аналогично обстоит дело и с косинусом, тангенсом и котангенсом. Но если а равно b, то взяв верное утверждение, содержащее а, мы можем в любом месте заменить а на b, и утверждение останется верным (правило подстановки).

Возьмем любое доказанное ранее утверждение относительно синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла в а радиан и заменим их на равные им по определению синус, косинус, тангенс и котангенс числа а. Утверждение останется верным, ч.т.д.

Домашнее задание: Галицкий, Алгебра 8-9, глава 13, №№ 2, 4-9, 11-14, 17, 20, 27, 30, 31, 33, 36-43, 45-49, 51, 54, 57, 58, 60-62.