§ 2. Формулы сложения и их следствия

Так называются в тригонометрии формулы, позволяющие вычислить значение тригонометрической функции от суммы или разности двух чисел: sin (x + y), ctg (xy) и т.п. Вам потребуется вывести и запомнить формулы для вычисления синуса, косинуса и тангенса суммы и разности. При этом будет удобно начать с доказательства формулы

cos(x y) = cosxcosy + sinxsiny,

которая выводится из двух формул скалярного произведения векторов.

Задача 4. Докажите формулу косинуса разности. Укажите ОДЗ для этой формулы.

Задача 5. Докажите формулу косинуса суммы. Укажите ОДЗ для этой формулы.

Задача 6. Докажите формулу cos (x) = sin x. Укажите ОДЗ для этой формулы.

Задача 7. Докажите формулу cos x = sin (x). Укажите ОДЗ для этой формулы.

Задача 8. Докажите формулы синуса суммы и разности. Укажите ОДЗ для каждой формулы.

Задача 9. Докажите формулы тангенса суммы и разности. Укажите ОДЗ для каждой формулы.

Из формул суммы получаются важные следствия  формулы приведения, позволяющие «привести» любое значение тригонометрической функции к значению ее для угла от 0⁰ до 45⁰ (или числа от 0 до ).

Задача 10. Опишите процедуру вывода всех формул приведения. Сопроводите рассказ необходимыми примерами. Опишите способ запоминания формул приведения. Сопроводите рассказ необходимыми примерами.

Из формул сложения естественно получаются формулы для кратных аргументов: 2х, 3х и т.д. Нужно уметь выводить и запомнить наизусть формулы синуса, косинуса и тангенса двойного угла.

Задача 11. Докажите формулы синуса, косинуса и тангенса двойного аргумента. Укажите ОДЗ для каждой формулы. Выведите также формулы синуса и косинуса тройного аргумента.

Формула косинуса двойного аргумента имеет еще два варианта, позволяющие найти формулы для половинного аргумента.

Задача 12. Выразите cos 2х через sin x и выведите формулу синуса половинного аргумента. Укажите ОДЗ для этой формулы.

Задача 13. Выразите cos 2х через cos x и выведите формулу косинуса половинного аргумента. Укажите ОДЗ для этой формулы.

Задача 14. Выведите три формулы тангенса половинного аргумента. Укажите ОДЗ для каждой формулы.

Из формул сложения получаются формулы, позволяющие преобразовать произведение синуса и косинуса двух аргументов в сумму и сделать обратное преобразование.

Задача 15. Выведите формулу произведения синусов. Укажите ОДЗ для каждой формулы.

Задача 16. Выведите формулу произведения косинусов. Укажите ОДЗ.

Задача 17. Выведите формулу произведения синуса и косинуса. Укажите ОДЗ.

Задача 18. Выведите формулу суммы синусов. Укажите ОДЗ.

Задача 19. Выведите формулу разности синусов. Укажите ОДЗ.

Задача 20. Выведите формулу суммы косинусов. Укажите ОДЗ.

Задача 21. Выведите формулу разности косинусов. Укажите ОДЗ.

Домашнее задание: Галицкий, Алгебра 8-9, глава 13, №№ 73-78, 80, 82, 84, 85, 87, 89, 91, 104, 105, 108, 109, 115-201.

§ 3. Свойства тригонометрических функций

Задача 22. Докажите что синус, косинус, тангенс и котангенс числа х являются функциями.

Задача 23.Установите область определения каждой из четырех тригонометрических функций: D(sin x), D(cos x), D(tg x) и D(ctg x).

Задача 24.Установите область значений каждой из четырех тригонометрических функций: Е(sin x), Е(cos x), Е(tg x) и Е(ctg x).

Прежде чем двигаться дальше, мы должны будем учесть два особых свойства тригонометрических функций, почти не встречавшихся нам до сих пор  их периодичность и их четность (нечетность).

Определение. Функция у = f(x) называется периодической, а число Т  0 называется ее периодом, если для каждого числа х, входящего в область определения этой функции, выполняются равенства f(x) = f(x + Т) = f(x Т).

Задание 27. Приведите примеры периодических функций из числа изученных вами вне курса тригонометрии.

Задание 28. Объясните, почему в определении периодической функции было бы недостаточно потребовать выполнения равенства f(x) = f(x + Т).

Задание 29. Докажите, что квадратичная функций не является периодической.

Задача 25. Докажите, что все четыре тригонометрические функции периодические и имеют периодом число 2.

Задача 26. Докажите, что функции y = sin x и y = соs x не имеют положительного периода, меньшего числа 2..

Задача 27. Докажите, что функции y = tg x и y = сtg x имеют наименьшим положительным периодом число .

Периодичность тригонометрических функций позволяет провести их исследование на каком-либо участке длиной в период, а затем распространить полученные результаты на другие участки области определения.

Еще более упрощается задача исследования тригонометрических функций ввиду их четности (нечетности).

Определение. Функция у = f(x) называется четной (или нечетной), если ее область определения симметрична относительно числа 0 и если для каждого числа х, входящего в область определения этой функции, выполняется равенство f(x) = f(x) (или f(x) = f(x)).

Задание 30. Приведите примеры четных и нечетных функций из числа изученных вами вне курса тригонометрии. Приведите пример функции, не являющейся ни четной, ни нечетной. Какая функция является и четной, и нечетной одновременно?

Задача 28. Докажите, что график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Задача 29. Докажите, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Задача 30. Докажите, что косинус является четной функцией, а синус, тангенс и котангенс  нечетными функциями.

Четность (нечетность) тригонометрических функций позволяет провести их исследование лишь в первой четверти, а затем распространить результаты на всю область определения.

Функция синус

Начнем с функции y = sin x. Исследуем ее знак, монотонность и выпуклость на отрезке .

Задание 31. Установите знак синуса на отрезке .

Задание 32. Установите монотонность синуса на отрезке .

Чтобы доказать, что синус выпуклый вверх на отрезке , снова возьмем х₁ и х₂ из этого отрезка такие, что х₁ < х₂ , и докажем, что >

Задание 33. Постройте график синуса на отрезке , используя опорные точки (0; 0), , , и .

Задание 34. Постройте график синуса на отрезке.

Задание 35. Постройте график синуса на отрезке длиной в период синуса.

Задание 36. Постройте график синуса на всей области определения..

График функции синус называется синусоидой.

Имея строго обоснованный график синуса, мы можем окончательно сформулировать все свойства функции у = sin x:

Область определения: (∞;+∞).

Область значений: [1; 1].

Нули функции: n, nZ.

Функция положительна при x(2n; +2n), nZ; функция отрицательна при x(+2n; 2(n+1)), nZ.

Функция возрастает на , nZ; функция убывает на , nZ.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2.

Функция нечетная.

Функция выпукла вверх на [2n;  + 2n], nZ; функция выпукла вниз на

[ + 2n; 2n], nZ.

Функция косинус

Задача 31. Пользуясь тождеством сos x = sin (x+), постройте график косинуса преобразованием синусоиды. Выпишите все свойства косинуса, прочитав их на этом графике.

Функция тангенс

Задание 37. Установите знак, монотонность и выпуклость тангенса на полуинтервале .

Задание 38. Постройте график тангенса на полуинтервале, используя опорные точки.

Задание 39. Постройте график тангенса на всей его области определения.

График функции тангенс называется тангенсоидой.

Имея строго обоснованный график тангенса, мы можем окончательно сформулировать все свойства функции у = tg x:

Область определения:, nZ.

Область значений: (∞;+∞).

Нули функции: n, nZ.

Функция положительна при x, nZ; функция отрицательна при x, nZ.

Функция возрастает на каждом интервале своей области определения.

Функция периодическая с наименьшим периодом .

Функция нечетная.

Функция выпукла вверх на , nZ; функция выпукла вниз на , nZ.

Функция котангенс

Задача 32. Пользуясь тождеством сtg x =  tg (x+), постройте график котангенса преобразованием тангенсоиды. Выпишите все свойства котангенса, прочитав их на этом графике.

* * *

Среди известных вам выражений имеются попарно связанные, взаимно обратные: сумма и разность, произведение и частное, степень и корень. Тригонометрические выражения тоже имеют обратные: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Первая часть наименований арк- переводится на русский язык с греческого словом «дуга».

Определения.

Арксинусом числа х (обозначение: arcsin x) называется такое число у  [ ], что sin у = х.

Арккосинусом числа х (обозначение: arcсоs x) называется такое число у  [0;], что соs у = х.

Арктангенсом числа х (обозначение: arctg x) называется такое число у  ( ), что tg у = х.

Арккотангенсом числа х (обозначение: arcctg x) называется такое число у  (0; ), что ctg у = х.

Задание 40. Докажите, что при введенных ограничениях введенные формулы задают функции.

Задача 33. Постройте график функции у = arcsin x и опишите ее свойства.

Задача 34. Постройте график функции у = arccos x и опишите ее свойства.

Задача 35. Постройте график функции у = arctg x и опишите ее свойства.

Задача 36. Постройте график функции у = arcctg x и опишите ее свойства.

Задание 41. С помощью координатной окружности найдите, если это возможно, a) arcsin (0,5), arcsin, arcsin ; б) arccos (0,5), arccos , arccos;

в) arctg, arctg 0; г) arcctg, arcctg 0.

Задание 42. Докажите следующие тождества:

а) arcsin x + arccos x = 0,5; б) arctg x + arcctg x = 0,5.

Задание 43. Решите уравнения, пользуясь координатной окружностью:

arcsin x = 0, arccos x = , arctg x =, arcctg x =,

arcsin x = 0,5, arccos x = , arctg x = , arcctg x = 0.

Домашнее задание: Виленкин, Алгебра 10, №№ 516,517,535,536,539,540,558,561,562.