Середні помилки при типовому відборі

Схема відбору	Параметр, що оцінюється
	Середня	Частка p
Повторна
Безповторна

Позначення: – середня з групових дисперсій; – частка варіант у вибірці, що задовольняють задану умову; – середня з групових дисперсій для частки, – частка варіант у k-й групі, що задовольняють дану умову, – частота k-ї групи.

Приклад 5.2. З метою вивчення доходів населення за трьома районами області проведено 2 %-й безповторний типовий відбір, результати якого наведено в таблиці:

Район	Кількість населення, чол.	Досліджено, чол.	Щомісячний дохід у розрахунку на 1 людину
			середній, тис. грн.,	групова дисперсія,
I II III	120 000 170 000 90 000	2400 3400 1800	2,9 2,5 2,7	1,3 1,1 1,6
Разом	380 000	7600	Х	Х

Встановити межі середньодушового доходу населення області в цілому з імовірністю 0,997.

Розв’язування. Обчислимо вибіркові середню щомісячного доходу однієї особи:

тис. грн.

та середню з групових дисперсій , скориставшись формулою (4.3):

.

За таблицями функції Ф(t) з умови Ф(t_γ )=γ знаходимо коефіцієнт довіри t_0,997 =2,96. Визначимо середню і граничну помилки вибірки:

,

.

У результаті одержуємо інтервальну оцінку середньодушового доходу населення області:

,

або

тис. грн.

Отже, з імовірністю 0,95 можна стверджувати, що середньодушовий щомісячний дохід населення області знаходиться в межах від 2,59 до 2,71 тис. грн.

При серійному відборі з рівними за обягами серіями середня помилка вибірки обчислюється за формулами, які подано у табл. 5.3.

Таблиця 5.3

Середні помилки при серійному відборі

Схема відбору	Параметр, що оцінюється
	Середня	Частка p
Повторна
Безповторна

Позначення: – міжсерійна дисперсія при рівно­ве­ликих серіях, – середнє значення ознаки в i-й серії; – загальна середня ознаки для всієї вибірки; – частка варіант у вибірці, що задовольняють задану умову; – міжсерійна дисперсія для частки ; – середня частка для вибраних серій; – частка варіант у i-й серії, що задовольняють дану умову; r – число відібраних серій; R – загальне число серій у генеральній сукупності.

Приклад 5.3. З метою контролю якості партії мінеральної води, що упакована у 50 ящиків по 20 пляшок об’ємом 1 л у кожній, було проведено 10 %-не серійне безповторне вибіркове спостереження. За 5 ящиками, що потрапили у вибірку, середнє відхилення наповненості пляшок від норми відповідно становило 9, 11, 12, 8 та 14 мл. З імовірністю 0,954 встановити довірчі межі середнього відхилення наповненості пляшок від норми у всій партії в цілому.

Розв’язування. Обчислимо середнє відхилення наповненості пляшок від норми у всій вибірковій сукупності:

мл.

Визначимо величину міжгрупової дисперсії:

.

Для заданої ймовірності =0,954 за таблицею значень функції Ф(t) знаходимо коефіцієнт довіри t_0,954 =2. Тоді гранична похибка вибірки становить:

мл.

Отримаємо довірчі межі середнього відхилення наповненості пляшок від норми:

,

або

мм.

Отже, з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що середнє відхилення наповненості пляшок від норми у всій партії в цілому знаходиться в межах від 9,0 до 12,6 мл.

Під час планування вибіркового спостереження іноді виникає необхідність хоча б наближено визначити мінімально необхідний обсяг вибірки, який забезпечував би із заданою надійністю задану точність інтервальних оцінок параметрів генеральної сукупності. Цей обсяг визначається з такої умови: фактична гранична помилка інтервальної оцінки не повинна перевищувати задану максимально допустиму помилку із заданою надійністю γ. Наприклад, при повторному відборі для оцінки генеральної середньої : , звідки Аналогічно можна одержати величини мінімально необхідних обсягів вибірки для інших випадків (див. табл. 5.4).

Таблиця 5.4