§ 2.6. Векторний добуток векторів.

Упорядкована трійка ненульових векторів називається правою, якщо після зведення її до спільного початку для спостерігача, що знаходиться на кінці вектора, поворот на найменший кут від вектора до вектора здійснюється проти руху годинникової стрілки (рис.8).

Векторним добутком двох неколінеарних векторів і називається вектор , який визначається наступними трьома правилами:

1. довжина вектора задається формулою

, (6.1)

де – кут між векторами і ;

2. вектор перпендикулярний до кожного з векторів і ;

3. вектори утворюють праву трійку векторів (рис.8).

Перше правило визначає довжину вектора , а два останні –його напрям. Легко бачити, що добуток правої частини формули (6.1) дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і . Отже, довжина вектора дорівнює площі вказаного паралелограма.

Вважається, що векторний добуток двох колінеарних векторів дорівнює нульовому вектору.

Векторний добуток векторів і будемо позначати або .

Властивості векторного добутку:

1. ;

2. ;

3. ;

4. якщо векторний добуток двох ненульових векторів і дорівнює нульовому вектору, то вектори і колінеарні.

Нехай вектори і задані своїми координатами:

Тоді:

, (6.2)

або

. (6.3)

Площа паралелограма й площа трикутника, побудованих на векторах і , обчислюються наступним чином:

, . (6.4)

Приклад 1. Задані два вектори і . Знайти: а) вектор, перпендикулярний до кожного з векторів і ; б) площу трикутника, побудованого на векторах і .

Розв’язання. а) Відмітимо, що задача не має єдиного розв’язку, тобто існує нескінченне число колінеарних векторів, які задовольняють умовам цієї задачі. Одним із таких векторів є векторний добуток (див. означення):

.

б) Використовуючи (6.4), здобудемо

(кв. од.).

§ 2.7. Мішаний добуток векторів.

Скалярний добуток векторів і називається мішаним добутком векторів і позначається або . Таким чином, у відповідності з означенням, можемо записати

. (7.1)

Властивості мішаного добутку:

1) мішаний добуток не змінюється, якщо в ньому поміняти місцями операції векторного й скалярного добутку:

2) мішаний добуток не змінюється при циклічній перестановці векторів:

3) при перестановці місцями будь–яких двох векторів мішаний добуток змінює знак на протилежний:

Якщо вектори і задані своїми координатами, то

(7.2)

Модуль мішаного добутку некомпланарних векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цех векторах. Отже об’єм паралелепіпеда й піраміди, побудованих на векторах можуть бути знайдені за формулами:

(7.3)

Приклад 1. Точки є вершинами чотирикутної піраміди. Знайти її об’єм.

Розв’язання.

(куб. од).

Використовуючи поняття мішаного добутку, умову компланарності (лінійної залежності) трьох ненульових векторів можна представити у вигляді

(7.4).

Якщо мішаний добуток трьох ненульових векторів відмінний від нуля, то ці вектори утворюють базис у просторі (лінійно незалежні).

Приклад 2. При якому значенні параметра вектори і компланарні ?

Розв’язання. Використовуємо умову компланарності (7.4):