- •Елементи лінійної алгебри
- •Елементи аналітичної геометрії
- •6.Скалярний добуток.
- •Комплексні числа
- •Вступ до математичного аналізу
- •Рекомендована література
- •§ 1.1. Матриці.
- •§ 1.2. Визначники.
- •§ 1.3. Обернена матриця. Ранг матриці.
- •§ 1.4. Системи лінійних рівнянь. Метод Гаусса.
- •§ 1.5. Невироджені системи лінійних рівнянь. Матричний метод. Ф ормули Крамера.
- •§ 1.6. Критерій сумісності та загальна схема дослідження і розв’язування системи лінійних рівнянь.
- •§ 1.7. Однорідні системи лінійних рівнянь.
- •II. Елементи аналітичної геометрії.
- •§ 2.1. Декартова прямокутна система координат.
- •§ 2.2. Означення векторної велечини. Основні поняття.
- •§ 2.3. Лінійні операції над векторами.
- •§ 2.4. Лінійна залежність векторів. Базис.
- •§ 2.5. Скалярний добуток векторів. Кут між векторами.
- •§ 2.6. Векторний добуток векторів.
- •§ 2.7. Мішаний добуток векторів.
- •§ 2.8. Пряма на площині.
- •§ 2.9. Площина у просторі.
- •§ 2.10. Пряма у просторі.
- •§2.11. Пряма й площина. Нехай у просторі задані пряма
- •§2.13. Гіпербола.
- •§2.14. Парабола.
- •§2.15. Загальне рівняння кривої другого порядку та його перетворення до канонічної форми.
- •§ 2.16. Полярна система координат. Параметричні рівняння лінії.
- •§ 2.17. Поверхні другого порядку.
- •7. Конічні поверхні.
- •§ 2.18. Загальне рівняння поверхні другого порядку та його спрощення у деяких частинних випадках.
§ 2.16. Полярна система координат. Параметричні рівняння лінії.
Найбільш важливою після прямокутної системи координат на площині вважається полярна система координат . Ця система також дозволяє визначати положення будь-якої точки на площині за допомогою двох чисел – її координат. Полярна система координат складається з деякої точки О, яка називається полюсом і напрямленої напівпрямої ОЕ, яка виходить із точки О і називається полярною віссю (рис. 18).
Крім того, необхідно задати відрізок одиничної довжини.
Нехай на площині задані полярна система координат і точка М. З’єднаємо полюс О з точкою М. Довжина здобутого відрізку ρ=|OM| називається полярним радіусом точки М, а кут ( кут відлічується від осі ОЕ до відрізку ОМ проти руху годинникової стрілки) – полярним кутом (рис. 18). Числа і є відповідно першою й другою полярними координатами точки М (пишеться М(,)). Можливі значення полярних координат, як правило, визначаються нерівностями , . Інколи вказані області значень розширюються. Наприклад, якщо кут відлічувати від осі ОЕ за рухом годинникової стрілки, то його значення береться від’ємним. Існує узагальнення полярної системи, в якому ρ також може приймати від’ємні значення.
Якщо на площині задані прямокутна й полярна системи координат, причому полярна вісь ОЕ співпадає з додатною напіввіссю ОХ (рис. 19), то між полярними й прямокутними координатами існує зв’язок:
(16.1)
(16.2)
Формули (16.1) виражають декартові координати через полярні, а формули (16.2) – полярні через декартові. Друга з формул (16.2) дає два значення координати із проміжку [0;2). Необхідно взяти те з них, яке задовольняє рівнянням (16.1).
Приклад 1. Відмітити на площині точки ), що задані полярними координатами.
Розв’язання. Для побудови точки М з полярного полюса проводимо промінь під кутом до полярної осі і відкладаємо на ньому відрізок довжиною 3. Точки М і М будуються подібно (рис. 20).
Приклад 2. Побудувати лінію .
Розв’язання. Врахуємо, що так як , то може приймати значення лише на відрізку [0;] (на цьому відрізку ). Знаходимо координати деяких точок даної лінії і записуємо їх у таблицю.
-
0
0
2
0
Відмічаємо знайдені точки на площині і з’єднуємо їх плавною лінією (рис. 21).
Приклад 3 В прямокутній системі координат коло задане рівнянням Знайти рівняння цього кола в полярних координатах, вважаючи, що полярна вісь співпадає з додатною напіввісью Ох.
Розв’язання. Використовуючи формули (16.1), маємо
Як бачимо, в полярній системі координат рівняння кола значно простіше, ніж у декартовій.
При розв’язанні багатьох прикладних задач зручно використовувати так звані параметричні рівняння лінії, тобто, рівняння, в яких координати точок лінії задаються у вигляді функцій від деякої змінної величини t (параметра). Для таких рівнянь прийнятий запис . Якщо в параметричних рівняннях виключити параметр t, то здобудемо звичайне рівняння лінії.
Приклад4. Крива задана параметричними рівняннями Побудувати дану криву і визначити її тип.
Розв’язання. Визначаємо координати деяких точок лінії і заносимо їх у таблицю (очевидно, що параметр t достатньо змінювати від 0 до 2).
t |
0 |
|||||||
x |
||||||||
y |
Використовуючи знайдені точки, будуємо криву (рис. 22).
Дана лінія дуже схожа на еліпс. Переконаємося, що це справді так (виключаємо параметр t):
, .