§ 2.9. Площина у просторі.

Рівняння

(9.1)

називається рівнянням поверхні у прямокутній системі координат , якщо координати будь–якої точки цієї поверхні задовольняють вказаному рівнянню, а координати будь–якої іншої точки – не задовольняють.

Розглянемо основні рівняння й поняття для площини у просторі.

Загальне рівняння площини:

, (9.2)

де – координати ненульового вектора , який перпендикулярний до площини і називається її нормаллю. Можливі наступні частинні випадки рівняння (9.2):

1. Один із коефіцієнтів дорівнює нулю – площина паралельна відповідній координатній осі. Наприклад, рівняння описує площину, яка паралельна осі .

2. Вільний член дорівнює нулю – площина проходить через початок координат.

3. Один із коефіцієнтів і вільний член дорівнюють нулю – площина проходить через відповідну координатну вісь. Наприклад, площина проходить через вісь .

4. Два з трьох коефіцієнтів дорівнюють нулю – площина паралельна відповідній координатній площині. Наприклад, площина паралельна координатній площині .

5. Рівняння , , є відповідно рівнянням координатних площин , , .

Рівняння площини, яка проходить через дану точку перпендикулярно до даного вектора:

, (9.3)

де – координати точки, через яку проходить площина; - координати вектора (нормалі), який перпендикулярний до площини.

Приклад1. Задані площина й точка . Знайти рівняння площини, яка проходить через дану точку і паралельна до даної площини.

Розв’язання. Так як площини паралельні, то вектор , який є нормаллю даної площини, буде також і нормаллю шуканої площини. Використовуючи формулу (9.3), запишемо рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно до вектора :

, .

Рівняння площини, яка проходить через три дані точки:

, (9.4)

де – координати трьох точок, що не лежать на одній прямій і через які проходить площина.

Рівняння площини у відрізках:

, (9.5)

де – відповідно абсциса, ордината й апліката точок перетину площини з осями координат. Рівняння (9.5) є найбільш зручним для побудови площини. Для того щоб із загального рівняння (9.2) здобути рівняння у відрізках (9.5), достатньо розділити перше на вільний член з оберненим знаком, тобто на (мається на увазі, що ).

Приклад 2. Знайти рівняння площини, яка проходить через точки , , . Визначити точки перетину цієї площини з осями координат і побудувати її.

Розв’язання. Застосуємо формулу (9.4):

, ,

,

.

Перейдемо від здобутого загального рівняння до рівняння площини у відрізках (розділимо на -10):

.

Отже, , , – точки перетину площини з осями координат. Використовуючи знайдені точки, будуємо площину (рис.10) (будуємо трикутник який визначає розміщення площини у просторі).

Нормальне рівняння площини:

, (9.6)

де , , – напрямні косинуси нормалі , – відстань від початку координат до площини. Для того щоб, від загального рівняння (9.2) перейти до нормального (9.6), потрібно розділити перше на число (знак береться оберненим знаку вільного члена).

Відстань від точки до площини знаходиться за формулою

. (9.7)

Приклад 3. задана площина . Знайти відстань до площини від: а) початку координат; б) точки .

Розв’язання. а) Здобудемо нормальне рівняння площини. Розділимо задане загальне рівняння на число :

.

Отже, – відстань від початку координат до площини.

б) Використовуючи формулу (9.7), здобудемо

.

Нехай задані дві площини:

, .

Кут між заданими площинами (один із двох) дорівнює куту між їхніми нормалями і й обчислюється за формулою

. (9.8)

другий кут доповнює кут до 180⁰, тобто .

Умова паралельності двох площин:

. (9.9)

Умова перпендикулярності двох площин:

(9.10)

Приклад 4. Знайти кут між площинами і .

Розв’язання. Застосовуємо формулу (9.8):

;

.