- •Содержание
- •Введение
- •Основные положения и определения
- •Поперечные силы и изгибающие моменты
- •Правила контроля построения эпюр Мх и Qy
- •Расчет на прочность и жесткость при поперечном прямомизгибе
- •Ка са тельные напряжения при поперечном изгибе. Расчет на прочность
- •Главные напряжения при плоском поперечном изгибе. Условие прочности по эквивалентным напряжениям
- •Линейные и угловые перемещения при плоском изгибе
- •Пример 2
- •Координата для первого участка изменяется в пределах . Уравнения равновесия для отсеченной (левой) части балки имеют вид:
- •Пример 3
- •Для построения эпюры перерезывающей силы и изгибающего момента необходимо рассмотреть три участка с координатами и (рис. 14).
- •Пример 4
- •Решение
- •Расчет на прочность
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •Порядок выдачи и приема работ
- •Расчетно-проектировочная работа Построение эпюр внутренних силовых факторов при поперечном изгибе. Расчет балки на прочность и жесткость
- •Список литературы
Расчет на прочность
4. Из условия прочности по нормальным напряжениям определяем величину необходимого осевого момента сопротивления сечения балки. Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:
Для стали 45 предел текучести =600МПа, примем коэффициент запаса прочности пТ = 2. И вычисляем допускаемое напряжение
Так как в опасном сечении , следовательно из условия прочности определяем необходимый осевой момент сопротивления сечения балки:
Рис. 24. Расчетная схема бруса, эпюры перерезывающей силы Qy, изгибающего момента Мх, углов поворота и и прошибов у.
5. Подбираем сечения по величине необходимого осевого момента сопротивления изгибу.
5.1. Прямоугольное сечение балки:
Примем h = 2b для прямоугольного сечения имеем.
принимая Wx = 200 см , определяем размер
Площадь сечения А1=bh=6,7·2·6,7=89,78 см2.
5.2. Квадратное сечение балки:
Для квадратного сечения имеем , откуда
. Поскольку Wx = 200 см3, то
. Площадь сечения
А2=10,632=112,99 см2.
5.3. Круглое сечение балки:
Для круглого сечения , следовательно
Поскольку Wx = 200 см3, то Площадь сечения
5.4. Кольцевое сечение балки:
Задается D = 1,25d. Для кольцевого сечения Поскольку Wx =200 см3, то
Площадь сечения
5.5. Двутавровое сечение балки:
По таблице сортамента (ГОСТ 8239-72) ближайший осевой момент сопротивления Wxmабл = 203 см3 . Этому моменту сопротивления соответствует двутавр №20а с площадью поперечного сечения А5=28,9 см2. Поскольку табличное значение осевого момента
Wxmaбл несколько отличается от расчетного значения Wx, то
6. Определение процента напряжения и перенапряжения материала балки по отношению к допускаемому напряжению для двутаврового сече ния.
7. Оцениваем экономичность подобранных сечений по отношению к наименьшему (двутавровому), принимая площадь А5 за 100%.
A5:A4:A3:A2:A1=100:460:432:390:310%
Следовательно, наиболее экономичным с точки зрения металлоемкости является двутавровое сечение балки.
8. Оценка прочности балки двутаврового сечения по касательным на пряжениям.
Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид:
Из эпюры поперечных (перерезывающих) сил (рис.24) . Из таблицы сортамента (ГОСТ 8239-72) для двутавра №20а находим Sxmax =114см3, Ix = 2030см4, b=d = 0,52 см. По третьей теории прочности [ф] = 0,5[у] = 0,5·300 = 150МПа.
Следовательно, условие прочности по касательным напряжениям выполняется.
9. Выбор опасного сечения.
В рассматриваемом примере опасным является сечение D (рис. 24), где действует и .
10. Построение эпюры нормальных напряжений в опасном сечении.
Нормальные напряжения в опасном сечении (сеч. D) вычисляются по формуле.
где уi- расстояние от оси х до рассматриваемого слоя.
Поскольку в опасном сечении Мхmax > 0, то слои, расположенные выше нейтральной линии, будут испытывать сжатие, ниже нейтральной линии – растяжение (рис. 25).
11. Построение эпюры касательных напряжений в опасном сечении.
Представим условно двутавровое сечение как фигуру, состоящую из трех прямоугольников: двух полок размером b·t и стенки размером (h - 2t)·d, выбираемыми из таблицы сортамента. Касательные напряжения в точках D, E, F, G, К, L, М определяются по формуле Д. И. Журавско-го (Рис. 25. б):
12.1. Точка D.
следовательно
12.2.Точка Е.
Ix = 2030 см4; b = 11 см; h = 20 см; t = 0,86 см.
12.3. Точка F.
Ix =2030 см4; =90,53 см3; d = 0,52 см. Поскольку в точке F ширина рассматриваемого слоя b = d = 0,52 см, следовательно касательное напряжение равно:
12.4. Точка G.
Ix =2030 см4; =114 см3;b=d = 0,52 см.
12.5.-12.7. Точки K,L,M.
Поскольку эпюра касательных напряжений т симметрична относительно оси х, то расчет в точках К, L, М можно не выполнять.
13. Проверяем прочность балки двутаврового сечения по эквивалент ным напряжениям.
Наиболее опасным с точки зрения прочности по эквивалентным напряжениям являются точки F и К. Условие прочности для точки F по третьей теории прочности запишется:
откуда
Таким образом, условие прочности по эквивалентным напряжениям для балки двутаврового сечения №20а выполняется.
14. Проверяем прочность балки двутаврового сечения по эквивалент ным напряжениям в сечении Е (рис. 24), так как в этом сечении изгибающий момент Мх близок к максимальному значению Мх =4,4ql2, а поперечная сила Qy значительно больше, чем в опасном сечении D - Qymax=-4,4ql. Проверка осуществляется для слоя F сечения балки.
Условие прочности не выполняется, следовательно для дальнейших расчетов принимаем двутавр №22 с параметрами: Ix= 2550 см4, Wх=232см3, Sx=131см3, h=220мм, b=110мм, t=8,7мм, d =5,4 мм.
Вновь вычисляем напряжения в слое F:
Условие прочности выполняется, следовательно для расчетов на прочность принимается двутавр №22.
Рис. 25. Эпюры нормальных (а) и касательных (б) напряжений в
опасном сечении балки.
15. Расчет балки двутаврового сечения на жесткость.
Для выполнения расчетов необходимо составить расчетную схему (рис. 26). С этой целью начало координат располагают в крайнем левом сечении балки, прерывающуюся распределенную нагрузку q продлеваем до крайнего правого сечения, и добавляем аналогичную нагрузку интенсивностью q, но направленную в противоположную сторону.
Универсальное уравнение для углов поворота заданной балки имеет вид:
Универсальное уравнение прогибов заданной балки имеет вид:
Приведенные варианты справедливы соответственно в пределах первого, второго, третьего и четвертого участков балки. Постоянные у0 и и0 представляют собой прогиб и угол поворота крайнего левого сечения балки (сеч. А) и называются начальными параметрами. Их определяют из граничных условий – условий закрепления балки. Поскольку балка опирается на опоры в сечениях А и В, следовательно линейные перемещения в этих сечениях отсутствуют, то есть:
а) если z=0, то у =0
б) если z=5l, то y=0
Рис. 26. Схема к составлению универсальных уравнений прогибов и
углов поворота сечений балки.
Используя граничное условие (а) для уравнения прогибов на первом участке, имеем:
, следовательно y0=0.
Используя граничное условие (б) для уравнения прогибов на четвертом участке, имеем:
следовательно
Вычисляем значения yi и иi по границам и в середине участков.
1.
Расчеты углов поворота и и прогибов у для точек z=3,5l; z=4l; z=4,5l; z=5l выполняются аналогично.
Полученные значения сводим в таблицу.
Координата сечения |
Угловое перемещение сечения; |
Линейное перемещение сечения; |
0 |
-3,587 |
0 |
1 |
-2,957 |
-3,359 |
21 |
-1,687 |
-5,714 |
2,51 |
-1,17 |
-6,3899 |
31 |
-0,717 |
-6,894 |
3,51 |
1,63 |
-6,66 |
41 |
3,843 |
-5,278 |
4,51 |
6,08 |
-2,97 |
51 |
6,083 |
0 |
По полученным значениям строим эпюры углов поворота и прогибов (рис.24.в,г).
Выполняется проверка жесткости балки по условию жесткости.
Поскольку [у]=1 см, то ymax=0,422 < [у]=1 см, следовательно балка двутаврового сечения №22 удовлетворяет условию жесткости. В случае, если условие жесткости не выполняется, то подбор сечения выполняется из условия жесткости, из которого следует, что для данной балки осевой момент инерции равен:
По полученному значению Ix выбирается из сортамента необходимый
профиль. При расчетах на жесткость обычно принимаются значения до пускаемого прогиба [у] = (0,001.. ,0,002)L, где L - длина балки.