СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение....................................................................................................................4

2. Расчеты стержня на прочность и жесткость при растяжении (сжатии)..............5

3. Варианты расчетно-проектировочной работы по расчету стержня на прочность и жесткость..............................................................................................................15

4. Расчеты статически неопределимых стержней и стержневых систем на прочность и жесткость при растяжении (сжатии)........................................................24

5. Варианты расчетно-проектировочной работы по расчетам статически неопределимых стержней и стержневых систем на прочность и жест­кость при растяжении (сжатии)........................................................................................................30

6. Список литературы.................................................................................................34

7. Приложения.............................................................................................................35

ВВЕДЕНИЕ

Сопротивление материалов является частью механики твердого де­формируемого тела, которая рассматривает расчеты на прочность, жест­кость и устойчивость элементов инженерных конструкций. Изучение курса позволяет овладеть методами расчета деталей машин, элементов конструк­ций на прочность, жесткость и устойчивость.

Расчетно-проектировочные работы (РПР) способствуют усвоению методики инженерных расчетов, развивают навыки самостоятельной ра­боты, закрепляют знание теоретической части курса и готовят студентов к изучению последующих курсов технических дисциплин, выполнению кур­совых и дипломных работ.

Условия заданий к РПР представлены схемами со значениями необ­ходимых исходных величин. Так как каждая схема может характеризовать собой аналогичную работу не одной какой-то конструкции, а нескольких, иногда различных по назначению, то в заданиях не приводятся словесные условия, ограничивающие использование той или иной схемы доя какого-нибудь отдельного случая.

При составлении заданий к РПР использованы методические мате­риалы Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана, Московского авиационного технологического института им. К. Э. Циолковского, Ижевского государственного технического университета и других ВУЗов.

ПОРЯДОК ВЫДДЧИ И ПРИЕМА РАБОТ

РПР включает 2 задачи: расчет стержня на прочность и жесткость и расчет статически неопределимых стержня и стержневой системы на прочность и жесткость. Каждая задача имеет два варианта А и Б.

В задаче на расчет стержня на прочность и жесткость приведены два варианта - А и Б. Вариант А включает обобщенную схему и 120 различных комбинаций линейных размеров и нагрузок. Номер вариантов от 1 до 120. Вариант Б предполагает для каждого номера варианта свою расчетную схему. Номер варианта состоит из четырех цифр. В задаче на расчет статически неопределимых стержней и стержневых систем включены 12 различных схем. Номер варианта состоит из четырех цифр.

В зависимости от количества часов выделенных государственным стандартом на изучение курса «Сопротивление материалов» по данной специальности кафедра вправе решать сколько задач одну или две вклю­чать в данную РПР, а также какой вариант задачи (А или Б) выполнять студентам данной специальности.

Выдача, консультации и прием РПР производятся лектором либо преподавателем, ведущим практические и лабораторные занятия. Перед выдачей РПР преподаватель знакомит студентов с содержа­нием и целью работы, сообщает номера вариантов (шифров) и указывает сроки выполнения, устанавливает дни и часы консультаций, сообщает по­рядок оформления и приема работ.

При зачете РПР студентам могут быть предложены вопросы и задачи из соответствующего раздела курса. Студент должен показать знание ме­тодики расчета, умение применять теоретические положения и формулы к расчету типовых схем по теме работы.

Работы, выполненные неаккуратно и не соответствующие выдан­ному варианту, не подлежат приему и зачету. Вариант очередной РПР вы­дается студенту после того, как им полностью выполнена, представлена к защите и зачтена предыдущая работа.

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ

И ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТ

1. РПР оформляется на писчей бумаге формата А-4(297х210). Листы сшиваются в тетрадь с обложкой из плотной бумаги.

2. Титульный лист оформляется в соответствии с образцом, приве­денным в приложении 2.

3. Текст расчета пишется на листах писчей бумаги чернилами четко и аккуратно с оставлением полей 25 мм. Каждый этап расчета должен иметь подзаголовок, указывающий его содержание.

4. Схемы и графики (эпюры) выполняются карандашом в выбран­ном масштабе с помощью чертежных инструментов (желательно на мил­лиметровой бумаге),

5. На схемах следует проставлять числовые значения нагрузок и опорных реакций с указанием соответствующих размерностей.

6. Все расчеты должны выполняться с соблюдением правил при­ближенных вычислений, округляя каждый результат до 3-4 значащих цифр. Результаты каждого этапа расчета подчеркиваются.

7. При исправлении проверенного расчета не разрешается стирать вопросы и замечания, сделанные преподавателем. Мелкие исправления приводятся в соответствующем месте расчета, а крупные - на новых лис­тах, подшиваемых в РПР.

8. Во всех случаях в заключительной части каждой задачи делается анализ полученного результата с точки зрения работоспособности элемен­тов конструкций в заданных условиях, рациональности их формы, необхо­димости изменения размеров, возможности увеличения или необходимости уменьшения рабочих нагрузок и т. д.

9. РПР, оформленная с нарушением настоящих указаний, не прини­мается.

I. Расчеты стержня на прочность и жесткость при

РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид нагружения бруса, при котором внешние нагрузки или их равно­действующие приложены вдоль оси бруса. Брус с прямолинейной осью, работающий в условиях центрального растяжения (сжатия), называется стержнем. В поперечных сечениях стержня возникает один внутренний силовой фактор (ВСФ) - нормальная сила N_z . Для определения нормаль­ной силы используется метод сечения. Нормальная сила N_z в поперечном сечении равна сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от этого сечения, на ось стержня. Нормальная сила N_z принимается положительной и направляется от сечения, если она вызывает растяжение. Величина нормальной силы в произвольном поперечном сечении стержня определяется по формуле:

(1)

где - сосредоточенные силы, - распределенные нагрузки.

Нормальное напряжение в произвольном поперечном сечении стержня вычисляется по соотношению:

(2)

где - площадь поперечного сечения i - участка стержня.

При расчетах стержней на прочность находится опасное сечение, в котором напряжение достигает наибольших значений по абсолютной величине , и для этого сечения записывается условие прочности:

(3)

где - допускаемое нормальное напряжение для материала стержня. Для пластичных материалов - , для хрупких материалов - , где - предел текучести и предел прочности материала стержня, - коэффициенты запаса прочности по пределу текучести и пределу прочности. Назначение величины коэффициента запаса прочности зависит от условий эксплуатации и области применения рассчитываемой конструкции, от методов расчета напряжений, свойств материала. Для пластичных материалов n_т принимается меньшим, чем n_в в случае расчета детали из хрупкого материала. Это обусловлено тем, что хрупкий материал более чувствителен к наличию различных дефектов структуры материала и возможным перегрузкам в процессе эксплуатации.

Перемещение рассматриваемого сечения стержня A§i, в соответствии с законом Р. Гука, вычисляется по формуле:

. (4)

Произведение EA_i - в формуле (4) называется жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).

По результатам вычислений нормальной силы N_z , нормального напряжения а и перемещений 5 строятся эпюры. Эпюра - это график, который показывает изменение силового фактора, напряжения, перемеще­ния и других величин по длине бруса (стержня).

В ряде случаев для обеспечения надежной работы стержня необхо­димо выполнение условия жесткости:

(5)

где - наибольшее абсолютное удлинение стержня, к - коэффициент, определяемый из эпюры перемещений, - допускаемое удлинение стер­жня, зависящее от назначения и области применения конструкции.

Вариант А РПР. Расчёт статически определимого стержня на

прочность и жёсткость

Задаётся: схема нагружения стержня (рис.1,а), длины участков стержня: , размеры поперечных сечений: d₁= 4d; d₂= 4d; d₃=3d; d₄=2d, величины распределённых нагрузок: q₁=2q; q₂=0; q₃=-4q; q₄=q, величины сосредоточенных сил: F₁= -2F; F₂= -4F; F₃=F; F₄=5F, предел текучести материала , коэффициент запаса прочности n_т=2,0, q=200 кH/м, l=0,5м, F=0,5ql=50кH, Е=2·10⁵ МПа. При расчетах учитывать соотношения: 1МПа=10⁶Па=1Н/мм²=10²Н/см²=10⁶Н/м².

Требуется: 1) Построить эпюры нормальной силы N_z , нормального напряжения и перемещения ; 2) из условия прочности определить размеры поперечных сечений стержня.

Рис.1. Расчетная схема стержня, эпюры нормальной силы, нормального напряжения и перемещений.

Решение

1. Определение опорной реакции Н_А в заделке (рис.1,а).

Для определения опорной реакции составляется уравнение равновесия стержня:

.

Учитывая , что Р= 0,5ql определяется опорная реакция

2. Разбивка стержня на участки.

Для построения эпюры нормальной силы N_z по длине стержня необходимо рассмотреть четыре участка с координатами z₁; z₂; z₃ и z₄ (рис.1,а).

3. Определение законов изменения нормальной силы по участкам стержня. Начало рассматриваемых участков необходимо обозначать точкой, текущее сечение z\ стрелкой. Начало последующего участка начинается на границе предыдущего участка.

3.1 Первый участок (рис.2)

Рис.2 К определению на первом участке

Координата z₁ для первого участка изменяется в пределах . Уравнения равновесия для отсечённой (левой) части стержня имеет вид:

Нормальная сила на границах участка принимает значения:

при z₁=0

при z₁=2l

3.2 Второй участок (рис.3)

Рис 3. К определению N_z2 на втором участке

На втором участке координата z₂ изменяется в пределах Уравнение равновесия для отсечённой части стержня записывается в виде:

На втором участке нормальная сила постоянна по длине участка N_z2 = -19F.= -950кН

3.3 Третий участок (рис.4)

Координата z₃ на третьем участке изменяется в пределах Уравнение равновесия отсечённой части стержня и значения нормальной силы на границах участка соответственно равны:

Рис.4 К определению N_z3 на третьем участке

при z₃=0

при z₃=3l

3.4 Четвёртый участок (рис.5)

Рис.5 К определению N_z4 на четвертом участке

Координата z₄ на четвёртом участке изменяется в пределах Соответствующее уравнение равновесия отсечённой части стержня и значения нормальной силы на границах участка равны:

при z₄=0

при z₄=3l

По результатам вычислений строится эпюра нормальных сил N_z (рис. 1,б).

4. Определение закона изменения нормального напряжения по участкам стержня.

Для определения нормального напряжения по участкам стержня предварительно вычисляются площади поперечных сечений:

Затем наименьшее значение площади (в данном примере ) принимается за А () и определяются значения площадей поперечных сечений пропорционально A: A₁= 4A, А₂= 4А, А₃= 2,25А, А4=А.

4.1 На первом участке закон изменения нормального напряжения в соответствии с формулой (2) имеет вид:

Нормальное напряжение на границах участка принимает значения:

при z₁=0;

при z₁=2l;

4.2 На втором участке закон изменения нормального напряжения имеет вид:

Нормальное напряжение на втором участке постоянно и равно

4.3 На третьем участке нормальное напряжение равно:

при z₃=0;

при z₃=3l;

4.4 Нормальное напряжение на четвертом участке определяется по зависи-мости:

при z₄=0;

при z₄=3l;

По результатам вычислений строится эпюра нормальных напряжений (рис.1,в).

5. Выбор опасного сечения. Определение размеров поперечных сечений стержня.

Предварительно определяется допускаемое напряжение

Для данного примера опасным является

сечение, в котором действует наибольшее рабочее напряжение (рис.1,в). Из условия прочности определяются площадь и диаметр поперечного сечения в опасном сечении

Площади поперечных сечений и диаметры по участкам стержня соответственно равны :

6. Определение перемещений на участках стержня.

6.1 Перемещение на первом участке, в соответствии с законом Р.Гука, равно

В координатах полученное выражение описывает кривую второго порядка. Определим выпуклость кривой:

следовательно кривая выпукла вверх.

При , при

Условие экстремума кривой

следовательно функция

имеет экстремум за пределами () первого участка.

6.2 Перемещение на втором участке соответствует перемещению сечения В на первом участке плюс абсолютное удлинение сечения 2 по линейной зависимости

при

при

6.3. Перемещение на третьем участке соответствует перемещению сечения С на втором участке плюс абсолютное удлинение сечения 3 по кривой второго порядка

Определим выпуклость кривой: Следовательно, кривая выпукла вниз.

При

при

Условие экстремума кривой

Следовательно функция имеет экстремум при Вычислим перемещение сечения при

6.4. Перемещение на четвёртом участке соответствует перемещению сечения Д на третьем участке плюс абсолютное удлинение сечения 4 по кривой второго порядка

Определим выпуклость кривой:

Следовательно кривая выпукла вверх.

При

при

Условия экстремума кривой

Следовательно функция имеет экстремум за пределами

(z₄ = 5,5l) четвёртого участка. По результатам вычислений строится

эпюра перемещений (рис. 1 .г).

7. В классе ПЭВМ кафедры студент реализует машинный вариант выполнения РПР, сопоставляет результаты традиционного и машинного расчетов.

Вопросы и задания для самопроверки.

1. Какой вид нагружения вызывает центральное растяжение (сжатие)?

2. Что называется стержнем?

3. Как вычисляется значение нормальной силы в сечении стержня?

4. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечных сече­ниях стержня, как их определить?

5. Как записываются условия прочности и жёсткости при растяжении (сжатии)?

6. Что называется допускаемым напряжением, как оно выбирается для пластичных и хрупких материалов?

7. Что называется коэффициентом запаса прочности и от каких основных факторов зависит его величина?

8. По какой зависимости вычисляется перемещение сечения стержня?

9. Приведите примеры реальных конструкций, работающих в условиях растяжения (сжатия), применительно к вашей специальности.

10. В чем суть метода сечений?

11. Что такое жесткость сечения стержня?

ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО - ПРОЕКТИРОВОЧНОЙ РАБОТЫ

Вариант А

Расчет статически определимого стержня на прочность и жесткость при

растяжении (сжатии) Задаются: схема нагружения стержня (рис. 6), величины внешних нагрузок, размеры стержня, коэффициент запаса прочности пт (таблица 1).

При расчетах принять: =300МПа, q=200KH/M, P=0,5q/=50KH, Е=2·10⁵ Мпа, l=0,5м, 1МПа=10⁶Па=1Н/мм²=10⁶Н/м².

Требуется: 1)Построить эпюры нормальных сил N_z, нормальных напряжений и перемещений ;

2) из условия прочности определить размеры поперечных сечений стержня;

3) выполнить эскиз стержня в соответствии с заданными соотношениями.

4) реализовать машинный вариант выполнения РПР.

Рис. 6 Обобщенная расчетная схема стержня к варианту А.

Таблица 1

Вариант Б

Для ступенчатого стержня в соответствии с заданным вариантом требуется:

1) построить эпюру продольных усилий N_z;

2) из условия прочности подобрать размеры, сечений;

3) построить эпюру нормальных напряжений в МПа;

4) построить эпюру осевых перемещений поперечных сечений по длине стержня;

5) из условия прочности на срез и смятие

определить необходимую толщину t и диаметр D

головки стержня;

6) выполнить эскиз стержня в соответствии с назначенными размерами.

Последняя цифра варианта соответствует номеру схемы (рис. 7..9). Данные варианты даны в таблице 2.

В расчетах принять:

q=200 кН/ м; 1=0,1 м; Е=2·10⁵ МПа; [σ]_см=2[σ]р; [τ]_ср=(0,5...0,6) [σ]р.