Задание 5.

Тема задания. Компьютерные технологии интегрированных программных пакетов (4 часа).

Содержание задания. Динамические системы в экономических задачах.

Динамическая модель конкуренции. Уравнения Вольтерра - Лотка.

Определение доходов торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли с заданной структурной матрицей торговли.

Задача 1. Рассмотрим один из самых известных примеров описания динамики взаимодействия конкурирующих популяций, а именно, уравнения Вольтерра - Лотка. Эта модель с успехом применяется для простейшего описания взаимодействия практически любых конкурирующих популяций, будь то животные или насекомые или рынки, банки, фирмы.

Предположим, что имеются две популяции - жертв и хищников.

Введём обозначения: x1(t) - количество жертв в момент времени t, x2(t) - количество хищников. Пусть коэффициент a есть относительная скорость размножения жертв в отсутствие хищников, (-bx2) - уменьшение этой скорости от потерь из-за хищников, коэффициент (-с) - относительная cкорость изменения числа хищников в отсутствие пищи, d - относительная cкорость изменения числа хищников в присутствии жертв в количестве x1(t) .

Тогда простейшей математической моделью динамической системы, описывающей изменение численности двух конкурирующих популяций во времени, является задача Коши для системы двух дифференциальных уравнений:

x1'=(a-b*x2)x1 , x2'=(-c+d*x1)x2

с начальными условиями: x1(t0)- начальное значение количества жертв, x2(t0)- хищников,

Н айдём решение задачи, то есть функции x1(t) и x2(t) , при конкретном выборе постоянных, построим графики решения и фазовый портрет динамической системы в пакете Maple..

Найдём численное решение задачи методом Рунге-Кутта (установлен по умолчанию).

Проверим работу программы:

> F1(3);

В пакете расширенной графики plots построим графики решений.

Легко видеть, что решения имеют колебательный характер. При появлении хищников в начальный момент число жертв убывает. Число же хищников сначала растёт, достигает максимума, а затем из-за нехватки пищи начинает убывать. Графически можно определить, что когда число хищников убывает до 1.71 (при t=1.07) число жертв минимально, но затем популяция жертв начинает увеличиваться и достигает максимума. Число хищников также через некоторое время начинает расти и цикл повторяется.

Определите графически величину периода колебаний.

Построим далее трёхмерную траекторию движения. Воспользуйтесь, пожалуйста, возможностью повращать получающийся график с помощью левой клавиши мыши.

Построим далее фазовый портрет.

Фазовый портрет представляет собой замкнутую гладкую кривую (цикл), как и следовало ожидать для автономной системы дифференциальных уравнений.

Определите. пожалуйста, графически пределы изменения количества хищников и количества жертв.

Задача 2 (Для специальности ГМУ). Решите задачу макроэкономики определения доходов торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли с заданной структурной матрицей торговли

Итак, рассмотрим линейную модель международной торговли.

Пусть структурная матрица торговли имеет следующий вид:

Требуется вычислить национальные доходы торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли.

Решение задачи . Рассмотрим решение задачи в среде Mathcad.

Проверим, является ли матрица A структурной матрицей торговли в какой-либо сбалансированной системе международной торговли. Для этого вычислим суммы коэффициентов, стоящих в каждом столбце. Каждая сумма должна равняться единице (почему?).

_{Зададим
нумерацию строк и столбцов матрицы}_A_{, начиная не с нуля, как установлено в}_Mathcad_{по умолчанию, а с единицы.}