1. Изоэнтропийное течение в соплах Лаваля

Расчетное задание посвящено исследованию течения газа через сопло Лаваля, которое представляет собой канал переменного сечения, где вслед за суживающимся участком следует расширяющаяся часть. Сопло предназначено для получения сверхзвуковых течений и названо в честь шведского инженера Густава Лаваля, впервые применившего такое сопло в качестве направляющего аппарата изобретенной им первой паровой турбины активного типа.

Стационарное изоэнтропийное одномерное течение газа в канале переменного сечения для случая совершенного газа (т.е. газа, термодинамическое состояние которого описывается уравнением Клапейрона – Менделеева) подчиняется уравнению^:

, (1)

где F – площадь поперечного сечения канала, – скорость одномерного потока газа, М = c/a – число Маха,  – местная скорость звука.

Для дозвукового потока скобка в левой части равенства (1) меньше нуля. При этом скорость, направление которой в одномерном движении совпадает с координатной осью, и площадь поперечного сечения канала – положительные величины. Следовательно, приращения скорости и площади сечения должны иметь разные знаки. Таким образом, в дозвуковых потоках увеличение площади сечения канала вызывает замедление газа, а уменьшение площади поперечного сечения ведет к ускорению потока, т.е. качественно поток ведет себя так же, как и в случае течения несжимаемой жидкости.

В сверхзвуковых потоках скобка в (1) положительна, поэтому знаки приращений скорости и площади сечения совпадают, так что расширение канала приводит к разгону потока, сужение – к торможению. Этот результат объясняется тем, что при расширении сверхзвукового потока его плотность падает интенсивнее, чем возрастает скорость, в результате чего произведение уменьшается вдоль оси канала, в результате чего площадь сечения возрастает, т.к. при стационарном одномерном течении массовый расход .

Если (критическое сечение), скобка в уравнении (1) равна нулю, следовательно, и приращение площади поперечного сечения dF=0. Это условие совпадает с необходимым условием экстремума площади сечения. Из сказанного очевидно, что критическое сечение в сопле Лаваля оказывается минимальным.

Таким образом, если скомпоновать сопло из суживающейся входной части и расширяющейся выходной и обеспечить такой режим течения газа, при котором на вход сопла подается дозвуковой поток, в самом узком сечении (оно называется горлом сопла) скорость потока будет равна скорости звука . Попадая в расширяющуюся часть сопла, поток будет разгоняться далее, и на выходе возникнет сверхзвуковое течение газа.

2. Изоэнтропийные формулы и газодинамические функции

В изоэнтропийном потоке связь между скоростью, давлением, плотностью и температурой определяется формулами, в которых в качестве параметра используют либо число Маха, либо безразмерную скорость . В отличие от числа М, в знаменателе которого содержится местная скорость звука, изменяющаяся вдоль потока, знаменателем безразмерной скорости является постоянная для одномерного стационарного потока величина – скорость в критическом сечении. В инженерных расчетах удобнее использовать скорость, измеренную в едином для потока масштабе, вследствие чего в качестве параметра обычно выбирают .

Число Маха и безразмерная скорость связаны друг с другом соотношением

(2)

Изоэнтропийные формулы, связывающие текущие (местные) значения параметров потока с параметрами торможения, имеют вид:

(4)

(5)

(6)

(7)

Здесь – безразмерные температура, плотность и давление соответственно; индексом «*» обозначены параметры заторможенного газа (параметры торможения). Следует отметить, что для удобства и скорости можно вместо расчета по формулам (5) – (7) использовать таблицы изоэнтропических функций. В этих таблицах задаются с определенным шагом значения параметра (или ) и приводятся значения , рассчитанные по формулам (5) – (7). Как правило, таблицы строятся в предположении, что показатель адиабаты ; таким образом, пользоваться табличными данными можно при расчете течения двухатомного газа или смеси двухатомных газов (азот, кислород, фтор, хлор, воздух и т.д.) Если же показатель адиабаты иной, например по соплу течет одноатомный (гелий, аргон …) газ, для которого показатель адиабаты , или газ, молекулы которого состоят из трех и более молекул (пары органических соединений, озон и т.д.) с показателем адиабаты , то нужно использовать непосредственно формулы (5) – (7), или же искать соответствующие таблицы газодинамических функций (см., например, [1]).

Используя изоэнтропийные формулы, можно получить связь параметров торможения с критическими параметрами. Для этого в формулы необходимо подставить (или ):

(8)

(9)

(10)

(11)

Кроме того, критическая скорость звука может быть выражена через температуру торможения:

(12)

Пользуясь уравнением неразрывности, которое для одномерного течения в канале сводится к условию сохранения вдоль оси канала величины массового расхода

(13)

и приведенными выше изоэнтропийными формулами, можно получить связь между параметрами одномерного течения и площадью поперечного сечения F, при этом площадь задается как функция продольной координаты, отсчитываемой от входного сечения вдоль оси сопла, F=F(x):

(14)

Отношение площади критического сечения к любой площади F=F(x), как легко установить из уравнения неразрывности (13), представляет собой функцию тока – приведенный секундный расход:

(15)

Таким образом, функция тока q в произвольном сечении может быть выражена в зависимости от числа Маха М или скоростного коэффициента :

(16)

Можно выразить приведенный секундный расход q и через безразмерное отношение давлений , разрешив относительно числа Маха М (или скоростного коэффициента ) формулу (7) и подставив результат в (13):

(17)

Функция тока q, как и безразмерные температура, плотность и давление, приводится в таблицах изоэнтропических функций.

Для дальнейших построений, выполняемых в расчетном задании, полезно использовать уравнение неразрывности (13), преобразованное к виду:

(18)

Величина b определяется свойствами среды (показателем адиабаты k и индивидуальной газовой постоянной R) и для выбранного газа является константой. Индивидуальная газовая постоянная R выражается через универсальную газовую постоянную и мольную массу:

Дж/(кмольК). (19)

К примеру, для воздуха г/моль = 29 кг/кмоль, R=8314/29=287 Дж/(кг К), b = 0,0405.