31. Розв’язання диференціальних рівнянь вищих порядків

Знайдемо на відрізку наближене рішення рівняння , що задовольняє початковим умовам , , і побудуємо графік знайденого рішення.

Зведемо рішення задачі для рівняння другого порядку до задачі для еквівалентної нормальної системи другого порядку. Позначимо й . Оскільки , то одержимо

Вирішимо задачу чисельно, використовуючи алгоритм Рунге-Кутти з фіксованим кроком на сітці з 20 рівновіддалених вузлів.

Фрагмент робочого документа MathCad, що містить рішення:

Mathcad має ще дві функції для рішення задачі Коші. Це функції Rkadapt і Bulstoer. Ці функції мають ті ж самі аргументи й повертають рішення в такій же формі, що й функція rkfixed. Перша із цих функцій використовує метод Рунге-Кутти зі змінним кроком, що дозволяє підвищити точність обчислень і скоротити їхній об'єм, якщо шукане рішення має області, де її значення міняються швидко, і області плавної зміни. Функція Rkadapt буде варіювати величину кроку залежно від швидкості зміни рішення.

Функція Bulstoer реалізує інший чисельний метод – метод Булірша-Штера. Її варто застосовувати, якщо відомо, що рішення є гладкою функцією.

32. Припустимо, що приладом з випадковими помилками нескінченно велика кількість раз обмірювана точна величина. Отримана в результаті такого експерименту множина величин називається генеральною сукупністю.

Дослідник при постановці досвідів робить кінцеве, звичайно невелике число вимірів. Їх можна розглядати як випадкову вибірку з гіпотетичної генеральної сукупності. Задача обробка зводиться до визначення по даним вибірки показників, що оцінюють параметри генеральної сукупності.

Розподіл величин у сукупності може бути різним. В інженерних експериментах у більшості випадків можна вважати, що розподіл підкоряється нормальному закону. Для нормального розподілу характерна симетричність - позитивні й негативні помилки зустрічаються однаково часто.

Нормальний розподіл характеризується двома параметрами:

1. генеральним середнім (математичним очікуванням);

2. генеральним середнім квадратичним відхиленням.

Математичне очікування виступає як найбільш імовірне значення вимірюваної величини. Дисперсія ж є чисельною характеристикою ступеня розсіювання. Звичайно проводяться два-п'ять дослідів. По них визначаються оцінки M і G. Оцінкою для математичного очікування є вибіркове середнє:

де i – порядковий номер повторного досліду;

n - число повторень досвідів;

X_i – значення вимірюваного параметра в i-м доліді.

Для визначення оцінки генерального середньоквадратичного відхилення спочатку перебуває дисперсія вибірки D:

Оцінкою для середньоквадратичного відхилення є:

де M_k – коефіцієнт, обумовлений по таблиці, залежно від числа ступенів свободи f= n-1.

Значення коефіцієнта M_k

F	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	60
Mk	1,253	1,128	1,085	1,064	1,051	1,042	1,036	1,032	1,028	1,025	1,004

Величина V_x=G_x/M_x*100% називається коефіцієнтом варіації.