1. Головною характеристикою безперервно розподіленої випадкової величини є щільність імовірності. У загальному випадку вона дорівнює похідної функції розподілу й розуміється як відношення ймовірності влучення випадкової величини у вузьку околицю певного значення до розміру цієї околиці. За допомогою щільності ймовірності виводяться всі найважливіші характеристики безперервної випадкової величини, такі як дисперсія або математичне очікування.

2. Біномінальний розподіл

В MathCad для обчислення щільності ймовірності й функції розподілу випадкової величини, що має біномінальний розподіл, призначена функція dbinom(k, n, p) і pbinom(k, n, p), значення яких – відповідно й .

3. Пуасоновский розподіл.

В MathCad для обчислення щільності ймовірності й функції розподілу випадкової величини, що має пуасоновский розподіл, призначені функції dpois (k, ) і ppois (k, ), значення яких – відповідно й .

4. Геометричний розподіл

В MathCad для обчислення плотності ймовірності й функції розподілу випадкової величини, що має геометричний розподіл, призначені функції dgeom (k, p) і pgeom (k, p), значення яких – відповідно й .

5. Гіпрегеометричний розподіл

В MathCad немає убудованих функцій для обчислення щільності ймовірності й функції розподілу випадкової величини, що має гіпергеометричний розподіл. Ці функції можна визначити по наведеним вище формулах.

6. Від’ємний біномінальний розподіл

Крім звичайного, в Mathcad є функції й від’ємного біномінального розподілу (negative binomial distribution). Цей розподіл має лише теоретичне значення й застосовується, наприклад, для визначення кількості невдалих експериментів до n-го успішного експерименту в ряді незалежних випробувань Бернуллі, якщо ймовірність успіху дорівнює р, або для підрахунку якісних виробів, відібраних до появи n-го ушкодженого виробу.

Задаються функції негативного биноминального розподілу за допомогою кореня nbinom і відповідних приставок. Наприклад, pnbinom(k,n,p) — функція ймовірності для розглянутого розподілу.

7. Рівномірний розподіл

Прочитайте й законспектуйте!

Найбільш простим безперервним розподілом є рівномірний розподіл, тобто розподіл що має однакову щільність на всьому проміжку визначення.

Випадкові величини, розподілені за рівномірним законом, мають кінцеві границі інтервалів зміни. Знаючи їх, зовсім не важко з обліком нормування вивести формулу щільності ймовірності ():

В Mathcad даній формулі відповідає функція dunif(x,a,b) (від англ. uniform distribution -рівномірний розподіл).

Функція рівномірного розподілу задається в Mathcad як punif(x,a,b), де а й b - границі інтервалу зміни випадкової величини (див. малюнок нижче). Загальну ж її формулу можна знайти, використавши символьне інтегрування:

8. Щільність імовірності нормально розподіленої випадкової величини описується формулою:

де a - це математичне очікування випадкової величини, - її середньоквадратичне відхилення.

В Mathcad щільність нормального розподілу обчислюється за допомогою убудованої функції dnorm(x, ,a) (дивіться малюнок нижче).

Інтегрування щільності ймовірності дає функцію розподілу. В Mathcad обчислення, пов'язані з її застосуванням, можна робити завдяки наявності спеціальної убудованої функції pnorm(x,,a). Використовуючи функцію розподілу, можна визначати, яка ймовірність того, що випадкова величина прийме значення з певного проміжку.

9. Розподіл « xи-квадрат»

Якщо n випадкових величин розподілені за нормальним законом, причому для всіх математичне очікування дорівнює 0, а середньоквадратичне відхилення - 1, то сума їхніх квадратів розподілена за законом , щільність імовірності якого описується наступною формулою (x>0):

Як видно з наведеної формули, описане розподіл залежить тільки від одного параметра k - числа ступенів волі (k= n-1, де n - кількість випадкових величин). При більших k розподіл «хі-квадрат» наближається до нормального. У статистиці розглянутий розподіл застосовується для обчислення інтервалу, у якому може змінюватися дисперсія випадкової величини. Доведено, що границі довірчого інтервалу для дисперсії можна визначити як

де S² — вибіркова дисперсія, n — кількість елементів у вибірці, χ²— коефіцієнт, що обчислюється виходячи з «хі-квадрат» розподілу. Традиційно ці коефіцієнти беруться зі спеціальних таблиць при ймовірностях, рівні ймовірності виходу випадкової величини за межі інтервалу. Обчислюються ж ці граничні ймовірності як (1+α)/2 і (1– α)/2 (де α — довірча ймовірність). По суті, коефіцієнти χ² є квантилями відповідного розподілу, так що для того, щоб вирішити задачу про довірчий інтервал для дисперсії в Mathcad, зовсім не потрібно звертатися до спеціальних таблиць. Для їхнього обчислення просто потрібно скористатися убудованою функцією квантилей qchisq(p,d), де p - довірча ймовірність, d - кількість ступенів волі.

10. Розподіл Стьюдента застосовується для рішення дуже багатьох статистичних зaдач, однак найбільше важливо його використання для обчислення довірчого інтервалу математичного очікування нормально розподілених даних.

У статистикці доведено, що довірчий інтервал для математичного очікування можна оцінити як

де n - об'єм вибірки, S - «виправлене» середньоквадратичне відхилення, t - квантиль розподілу Стьюдента. Таблиці із критичними точками для останнього можна знайти не тільки в підручниках по статистиці, але й у будь-якій допомозі з виконання лабораторних робіт (у які він визначається за рівнем значимості (залежить від техніки виконання вимірів) і кількості ступенів волі (тобто від кількості паралельних вимірів)).

Відповідне значення можна одержати й за допомогою функції квантилей qt(р,d), де р - довірча ймовірність, d - кількість ступенів волі випадкової величини.