20. Рівняння виду

Розв’язок такого рівняння знаходиться -кратним інтегруванням, а саме:

, ,

,

…………………………………………………

,

де

.

Оскільки , , … є сталими величинами, то загальний розв’язок можебути записаний так:

.

21. Диференціальні рівняння виду , що не містять шуканої функції

Порядок такого рівняння можна понизити, прийнявши за нову невідому функцію, найнижчу із похідних даного рівняння, тобто вважаючи . Тоді отримаємо рівняння

.

Таким чином, порядок рівняння знижується на одиниць.

22. Диференціальні рівняння виду , що однорідні відносно , , , ...,

Рівняння такого типу допускають пониження порядку похідної при заміні .

Розглянемо приклад. Розв’яжемо рівняння .

Розділимо обидві частини рівняння на :

.

Запровадимо , звідки , або . В результаті отримаємо рівняння

, або , тобто .

Звідси, інтегруючи, знаходимо

, або , або .

23. Принцип суперпозиції будується на наступних властивостях розв’язків лінійних рівнянь:

1. Якщо й - два розв’язки однорідного лінійного рівняння , то їхня лінійна комбінація при будь-яких постійних , є рішенням диференціального рівняння.

2. Якщо й - два розв’язки неоднорідного лінійного рівняння , то їхня різниця є рішенням однорідного рівняння .

3. Будь-яке розв’язок неоднорідного лінійного рівняння є сума частинного (фіксованого) розв’язку неоднорідного рівняння й деякого рішення однорідного рівняння.

4. Якщо й - розв’язки неоднорідних лінійних рівнянь і , то їхня сума є розв’язок рівняння .

Наприклад, функції й - два розв’язок лінійного рівняння:

,

а функція - розв’язок неоднорідного рівняння:

.

Підстановкою в рівняння легко перевірити, що функція є розв’язок однорідного рівняння при будь-яких , , а функція - розв’язок наведеного вище неоднорідного рівняння.

24. Загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння з постійними коефіцієнтами

,

где - произвольные постоянные коэффициенты, справедливы следующие утверждения.

1. Существует линейно независимых решений уравнения, а любые решений линейно зависимы.

2. При любых значениях констант , функция является решением уравнения.

3. Для любых начальных значений существуют такие значения , что решение удовлетворяет условиям

Выражение называется общим решением линейного однородного уравнения.

25. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Общее решение. Метод подбора.

В соответствии с принципом суперпозиции общее решение линейного неоднородного уравнения может быть записано как сумма общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения.

Метод подбора применяют для отыскания частных решений неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и правыми частями вида:

где , - многочлены соответственно степени и . Правые части такого вида называют обобщенными многочленами.

Метод подбора, или метод неопределенных коэффициентов, состоит в следующем.

Искомое решение уравнения записывается в виде:

,

где , - многочлены степени с неизвестными коэффициентами .

Сомножитель называют резонансным сомножителем. Резонанс имеет место в случаях, когда среди корней характеристического уравнения есть корень кратность , действительная часть которого совпадает с коэффициентом в показателе степени экспоненты, а мнимая – с коэффициентом в аргументе тригонометрической функции в правой части уравнения.

Подставив выражение для решения с неопределенными коэффициентами в левую часть уравнения, получим обобщенный многочлен того же вида, что и в правой части уравнения. Два обобщенных многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при сомножителях вида , с одинаковыми степенями . Приравняв коэффициенты при таких сомножителях, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных. Решение системы – неизвестные коэффициенты многочленов, входящие в искомое выражение для частного решения неоднородного дифференциального уравнения.