Глава 6. Дифференцируемая функция. Дифференциал.

§1. Понятие дифференцируемой функции в точке и дифференциала.

Определение.

Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, x_о – внутренняя точка одного из промежутков, образующих X.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x_о, если её приращение в точке x_о ∆f(x_о; ∆x), вызванное смещением ∆x, может быть представлено в виде ∆f(x_о; ∆x)=A·∆x+(∆x), где A –число, а (∆x)=.

Определение.

Пусть f(x) дифференцируема в точке x_о. Главная линейная часть приращения функции называется дифференциалом функции f(x) в точке x_о.

Обозначение:

∆f(x_о; ∆x)=A·∆x+(∆x)=df+, то есть =0

Примеры.

1. f(x)=, X=(, +)

x_о=2

∆f(2; ∆x)==4+4∆x+=4∆x+

A=4, (∆x)==

df=4∆x

2. f(x)=, X=(, +)

а) x_о=8 ∆f=∆f(8; ∆x)=f(8+∆x)f(8)== 1∆x

Главная линейная часть в точке x_о =8.

∆f(8; ∆x)=∆x+

б) x_о =7. ∆f(7; ∆x)= ∆f(7; ∆x)f(7)==.

Главной частью приращения функции ∆f является , A=0, 0.

Функция f(x)= не является дифференцируемой в точке x_о=7, так как приращение функции не является линейной от ∆x при

(∆f(7; ∆x)= имеет порядок при )

Теорема 1. (Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.)

Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, и во внутренней точке x_о одного из промежутков X f(x) дифференцируема.

Тогда f(x) непрерывна в точке x_о.

Доказательство.

f(x) дифференцируема в точке x_оX. Сместимся из точки x_о в точку x_о+∆xX.

Тогда ∆f(x_о; ∆x)=f(x_о+∆x)f(x_о)= A·∆x+ ∆f(x_о; ∆x)=(A·∆x+)=0.

f(x) непрерывна в точке x_о.

Теорема 2. (Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке).

Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, x_о – внутренняя точка одного из промежутков из X.

f(x) дифференцируема в точке x_о тогда и только тогда, когда f´(x_о).

Доказательство.

1. Необходимость.

x_оX, x_о+∆xX, ∆x0.

f(x) дифференцируема в точке x_о ∆f(x_о; ∆x)= A·∆x+(∆x), A-число, (∆x)=.

Тогда f´(x_о)====A.

2. Достаточность.

Пусть во внутренней точке x_оX f´(x_о).

Докажем, что f(x) дифференцируема в точке x_о.

Так как f´(x_о)= =f´(x_о)+(∆x), где (∆x)=0 ∆f(x_о; ∆x)= f´(x_о)∆x+(∆x)·∆x. Положим A= f´(x_о), (∆x)=(∆x)·∆x.

Тогда ==(∆x)=0 (∆x)=

f(x) дифференцируема в точке x_о и df= f´(x_о)∆x ∆f(x_о; ∆x)= f´(x_о) ∆x+(∆x), (∆x)=.

Следствие 1.

Рассмотрим функцию (x)=x ∆=∆x, (∆x)=0 d=dx= ∆x Дифференциал независимой переменной есть её приращение то есть dx не зависит от x!!!

А тогда df= f´(x)·dx.

Следствие 2.

Если в точке существует дифференциал, то он единственен, так как единственное значение производной функции в точке, ибо предел функции единственен.

Следствие 3.

Пусть в точке xX f´(x).

1. f´(x)0.

Тогда ∆f= ∆f(x; ∆x)=f´(x)·dx+(∆x)=df+

2. f´(x)=0 df= f´(x)·dx=0

§2. Некоторые свойства дифференциала функции в точке.

Из свойств производных следует:

1. dv=dC=0.

Дифференциал постоянной равен 0.

v(x)C на (, +).

2. d(C·u(x))=C·du(x)/

Константа выносится за знак дифференциала.

3. d(u + v)=du+dv

4. d(u· v)=du· v+u·dv

5. d=

1