§5. Условия непрерывности монотонной функции. Обратная функция. Непрерывность обратной функции.

Пусть f(x) задана на промежутке X ненулевой длины и монотонна на X.

Теорема 1.(О существовании односторонних пределов функции во внутренних точках промежутка.)

Пусть функция f(x) монотонна на промежутке X ненулевой длины. Тогда в любой внутренней точке промежутка X функция f(x) имеет односторонние пределы.

Доказательство.

а) Пусть f(x) возрастает на X x´, x´´X (x´< x´´): f(x´)f(x´´) и пусть x_о – внутренняя точка промежутка X.

Рассмотрим множества

X₁={x; xX: x< x_о}; Y₁={f(x), xX₁}

X₂={x; xX: x> x_о}; Y₂={f(x), xX₂}

Множество Y₁ ограничено сверху, так как xX₁: f(x)f(x_о) и, следовательно, Y₁ имеет точную верхнюю грань L₁= sup_X1 f(x)= sup Y₁.

А множество Y₂ ограничено снизу, так как xX₂: f(x_о)f(x) и L₂= inf_X2 f(x)= inf Y₂.

Так как f(x_о) является одной из верхних границ множества Y₁ и одной из нижних границ множества Y₂, то L₁ f(x_о)L₂.

Докажем, что

1. L₁=f(x)

2. L₂=f(x)

Возьмём произвольное >0 и зафиксируем его.

1. Так как L₁= sup_X1 f(x) 1) xX₁: f(x) L₁

2) >0, а значит и для нашего фиксированного >0 X₁: f()> L₁–. L₁ –<₂₎f()₁₎ L₁< L₁+.

Тогда xX₁, <x< x_о (x(, x_о)) в силу возрастания функции f(x) на X: f() f(x) L₁f(x_о) xX(, x_о): L₁–<f()f(x)L₁< L₁+.

Положим ₁=₁()= x_о –>0 (ибо =()).

Тогда >0 ₁>0 x (xX₁, x< x_о, │x - х_о│<₁): │f(x) –L₁│< f(x)=L₁.

2. Так как L₂= inf_X2 f(x) 1) xX₂: L₂ f(x)

>0, а значит и для нашего фиксированного >0 X₂: f()< L₂+ L₂– ₁₎ L₂<f()<₂₎ L₂+ А тогда в силу возрастания функции f(x) на X xX₂, x_о<x< (x(x_о, ())

L₂–<L₂₁₎ f(x)f()<₂₎ L₂+.

Положим ₂=₂()=() –x_о>0.

Тогда >0 ₂>0 x (xX₂, x>x_о, │x - х_о│<₂): L₂–<f(x)< L₂+ │f(x) –L₂│< L₂=f(x).

б) Пусть f(x) убывает на X. Рассмотрим функцию –f(x). Она возрастает на X. Тогда по доказанному в п.а) у неё есть односторонние пределы в любой внутренней точке промежутка X, а функция f(x) отличается от –f(x) только постоянным множителем (–1) f(x) имеет односторонние пределы в каждой внутренней точке промежутка.

Теорема 2. (Достаточные условия непрерывности строго монотонной функции.)

Пусть f(x) определена на промежутке X. Строго монотонна на X и Y={y; y=f(x), xX} - промежуток.

Тогда f(x) непрерывна на X.

Доказательство.

Для определённости будем считать, чтоf(x) строго возрастает на X, то есть x₁, x₂X, x₁<x₂: f(x₁)< f(x₂).

Докажем, что f(x) непрерывна на X.

Предположим противное, то есть что x_оX такое, что f(x) терпит разрыв в точке x_о. По теореме 1, точка разрыва x_о является точкой разрыва 1-го рода.

x_оX f(x)=L₁= sup_X1f(x)

f(x)=L₂= inf_X2 f(x) и L₁L₂.

Но так как L₁f(x_о) L₂, то предполагается, что

1. L₁< f(x_о).

Возьмём точку x₁X₁. Тогда y₁= f(x₁) L₁< f(x_о). y₁= f(x₁)<y_о= f(x_о) (y₁, y_о)Y={y; y=f(x), xX}.

Возьмём произвольную точку y(y₁, y_о) и L₁<y<f(x_о)= y_о.

В самом деле, f(x) строго возрастает xX₁: f(x) L₁<y

xX₂: f(x)> f(x_о)= y_о>y.

Но это невозможно, так как Y={f(x), xX} – промежуток L₁=f(x_о).

2. Пусть f(x_о)< L₂=f(x)= inf_X2 f(x).

Возьмём некоторое x₂X₂={x; x>х_о}

y₂=f(x₂)Y весь интервал (y_о, y₂)Y.

Рассмотрим точку y(y_о, y₂) и f(x_о)<y<L₂.

Проверим, что xX: f(x)y. В самом деле, xX₁: f(x)< f(x_о)<y.

xX₂: f(x_о)<y<L₂f(x) .

Но это невозможно, так как Y промежуток.

А тогда f(x_о)= L₂.

И мы получаем L₁= f(x_о)=L₂ f(x)= f(x_о)=f(x) f(x)= f(x_о).

х_оX и f(x)= f(x_о).

Следствие (теоремы 1).

Если функция монотонна на промежутке, и она имеет точки разрыва, то все они точки разрыва 1-го рода.

Следствие (теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции и теоремы 2.)

(Критерий непрерывности строго монотонной функции.)

Строго монотонная функция на промежутке X ненулевой длины (в частности, на отрезке [a, b], a<b) является непрерывной на X тогда и только тогда, когда её область значений Y={f(x), xX} является промежутком.

Определение.

Пусть f(x) определена на промежутке X ненулевой длины. Y={f(x), xX} – её область значений.

Функция f(x) называется однозначно обратной на X, если yY единственное xX такое, что y=f(x).

Определение.

Пусть y=f(x) однозначно обратима на X, Y={f(x), xX} – её область значений.

Функция x=g(y) называется обратной к функции y=f(x), если она определена на Y, и каждому yY она ставит в соответствие именно то единственной xX, для которого y=f(x).

Обозначение обратной функции: g(y)= f^-1(y), yY.

Теорема 3.

Любая строго монотонная функция на промежутке X ненулевой длины однозначно обратима на нём.

Доказательство.

Пусть f(x) строго возрастает на промежутке X, Y={f(x), xX}.

f(x) строго возрастает на X x₁, x₂X, x₁<x₂: f(x₁)< f(x₂).

Возьмём произвольное yY, зафиксируем его и покажем, что единственное xX такое, что y=f(x).

Предположим, что это не так, то есть x₁, x₂X, x₁x₂ и такие, что y=f(x₁) и y=f(x₂). И мы сразу пришли к противоречию, поскольку x₁x₂, то

либо x₁<x₂ f(x₁)< f(x₂),

либо x₁>x₂ f(x₁)> f(x₂).

yY единственный xX: y=f(x).

Аналогичное доказательство приводится для строго-убывающей функции.

А значит, любая строго-монотонная функция на промежутке ненулевой длины имеет обратную функцию.

Теорема 4. (О непрерывности обратной функции.)

Пусть функция f(x) определена на промежутке X ненулевой длины, строго монотонна и непрерывна на X.

Тогда обратная функция g(y), определённая на Y={f(x), xX} имеет тот же характер монотонности на Y, что и f(x) на X, и g(y) непрерывна на Y

Доказательство.

f: XY, g= f^-1: YX.

I Пусть f(x) строго возрастает на X.

Докажем, что g(y)= f^-1(y) строго возрастает на Y.

Возьмём произвольный y₁Y и y₂Y, y₁<y₂.

Докажем, что g(y₁)< g(y₂). Предположим, что это не так, то есть y₁, y₂Y, y₁<y₂, а g(y₁)g(y₂). Но по определению обратной функции g(y) ставится в соответствие y₁Y единственный x₁X: f(x₁)=y₁; y₂Y ставит в соответствие единственный x₂X: f(x₂)=y₂.

По нашему предположению y₁<y₂ f(x₁)< f(x₂).

Но g(y₁)=x₁x₂= g(y₂). А тогда в силу строгого возрастания x₁>x₂ f(x₁)> f(x₂), что противоречит условию f(x₁)< f(x₂). x₁=x₂ f(x₁)=f(x₂), что так же противоречит условию f(x₁)< f(x₂).

II Докажем теперь, что g(y) непрерывна на Y.

Так как f(x) оперделена на промежутке X и непрерывна на нём, то по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции Y – промежуток.

А так как g(y) оперделена на промежетке Y и строго монотонна на нём, и g: YX и X – промежуток, то по теореме 2, g(y)= f^-1(y) непрерывна на Y.