§6. Пределы функций на бесконечности.

Примеры.

1. y= f(х)=arctg(x), Х=(, +).

При х y, при х+ y.

2. y= f(х)= , Х=(, +). y0 при х.

О таких функциях в этом параграфе и пойдёт разговор.

Определение.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, и пусть множество Х неограниченно сверху (Х неограниченно снизу).

Говорят, что число L является пределом функции f(х) при х+ (соответственно, при х) и пишут f(х)=L (соответственно, f(х)=L), если

(Г)₂ (К)₂

{х_n} : 0 D>0 х (хХ, х>D):

│f(х)- L│<

f(х_n)=L (соотв. х<D): │f(х)- L│<

Определения (Г)₂ и (К)₂ эквивалентны.

(Г)₂ и (К)₂ обладают всеми свойствами пределов функций, арифметическими и другими.

Замечание.

Неограниченная сверху область определения Х функции f(х) может содержать промежуток [a, +) или (a, +), но необязательно, а неограниченная снизу область определения Х функции f(х) - промежутки (, b] или (b), и тоже необязательно.

Например.

1. f(х)=, Х=(, 0)(0, +).

2. f(х)=, Х=, (n+1))

§7. Функции, стремящиеся к бесконечности. (Бесконечно большие функции.)

1. f(х)=, Х=(, 0)(0, +). При х0 f(х) +

1. f(х)=х³, Х=(, +). При х f(х), при х+ f(х)+.

Определение.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, точка х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х.

Говорят, что f(х) стремится к + (к ) при х х_о и пишут f(х)= + (соответственно, f(х)=), если

(Г)₃ (К)₃

{х_n} Е>0 >0 х (хХ, х х_о, │x - х_о│<):

f(х)>Е (соотв. f(х)<Е)

f(х_n)= +

(соотв. f(х_n)=)

Определения (Г)₃ и (К)₃ эквивалентны. (Г)₃ и (К)₃ обладают всеми свойствами пределов функций.

Аналогично определяются:

f(х)= + f(х)= +

f(х)= f(х)=

Замечание.

Иногда рассматривают функцию f(х), стремящуюся к при х+, при х, и стремящуюся к + и к на бесконечности.

Например.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, Х –неограниченно снизу, тогда f(х)= + определяется так:

(Г)₄ (К)₄

{х_n} : Е>0 D>0 х (хХ, х<D):

f(х_n)= + f(х)>Е

Е>0 n>N: f(х_n)>Е

§8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.

1. Определение.

Пусть (х) имеет стандартную область определения Х и точка х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х.

Функция (х) называется бесконечно малой при х х_о, если (х)=0.

Определение.

Пусть (х) и (х) имеют общую стандартную область определения Х, и обе являются бесконечно малыми при х х_о.

Говорят, что б.м. (х) и (х) при х х_о имеют один и тот же порядок малости и пишут (х)=_xxo[(х)], если =L0.

Замечание.

Мы в данном случае предполагаем, что отношение определено на Х(х_о-h, х_о+h), h>0, то есть (х)0 несмотря на то, что (х)=0.

Определение.

Говорят, что две б.м. (х) и (х) при х х_о эквивалентны, если =1.

Определение.

Говорят, что б.м. (х) при х х_о имеет более высокий порядок малости относительно б.м. (х) при х х_о, если =0 и пишут (х)=_ххо[(х)].

Определение.

Говорят, что б.м. (х) при х х_о имеет порядок малости равный р относительно б.м.(х) при х х_о, если =L0 и пишут (х)=_xxo[^р(х)].

Определение.

Если не существует , и функция при х х_о, то говорят, что б.м. (х) и (х) при х х_о несоизмеримы.

Примеры.

1. (х)=х и (х)=│x│ при х0 несоизмеримы.

2. (х) и │(х)│ - б.м., при х х_о несоизмеримы.

3. f(х)=х и g(х)=х· - б.м. при х0 g(х)=_x0[] р= – порядок малости при х0 относительно х.

2. Бесконечно большие –б.б.

Пусть (х) и (х) – бесконечно большие функции при х х_о.

Определение.

Говорят, что б.б. (х) и (х) имеют один и тот же порядок роста при х х_о и пишут (х)=_xxo[(х)], если =L0.

Определение.

Говорят, что б.б. (х) имеет порядок роста равный р относительно (х) при х х_о, если =L0 и пишут (х)=_xxo[^р(х)].

Определение.

Говорят, что б.б. (х) более высокого порядка роста относительно б.б. (х) при х х_о, если =.