Задание 5: «Представление целых чисел в эвм. Арифметические операции над целыми числами. Сложение и вычитание»

Что нужно знать:

• перевод чисел из десятичной в двоичную систему счисления

• представление целых чисел в ЭВМ: если целое число со знаком занимает в памяти один байт, то первый бит числа - это знаковый разряд числа, оставшиеся 7 бит занимает абсолютное представление числа в двоичном коде

• для целых чисел со знаком применяются три формы записи (кодирования): прямой код, обратный код и дополнительный код

• положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково - двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде, например для А₁₀=+5

А_пк=А_ок=А_дк=0:0000101,

здесь «:» разделяет знаковый и цифровые разряды числа

• при записи прямого кода отрицательных чисел в знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа — двоичный код его абсолютной величины, например для А₁₀=-5

А_пк=1:0000101

• обратный код отрицательных чисел получается инвертированием всех цифр прямого кода числа, исключая знаковый разряд: нули заменяются единицами, а единицы — нулями, например для А₁₀=-5

А_ок=1:1111010

• дополнительный код отрицательного числа образуется прибавлением единицы к младшему разряду обратного кода, например для А₁₀=-5

А_дк=1:1111011

• при выполнении операции сложения числа, записанные в прямом, обратном или дополнительном коде, складываются по общим правилам сложения двоичных чисел, причем знаковые разряды участвуют в сложении так же, как и значащие информационные. Если при сложении чисел в обратном коде образуется перенос из знакового разряда, то к младшему числовому разряду добавляется единица. Если такой перенос возникает при использовании дополнительного кода, то единица переноса теряется. Знак результата операции сложения формируется автоматически, результат представляется в том коде, в котором представлены исходные слагаемые

• операция вычитания приводится к операции сложения следующим образом (при А>=0 и B>=0):

Операция	Необходимое преобразование
А-В	А+(-В)
-А+В	(-А)+В
-А-В	(-А)+(-В)

Скобки в представленных выражениях указывают на замену операции вычитания операцией сложения с обратным или дополнительным кодом соответствующего числа

Пример:

Дано: А₁₀=31 и В₁₀=23. Вычислить:

1) С=А+В;

2) D=А-В;

3) E=–А+В;

4) F=–А-В.

Результаты представить в прямом, обратном и дополнительном кодах.

Общий подход:

1. Перевести оба числа в двоичную систему счисления,

2. Для выполнения операции сложения представить числа в прямом коде, а для выполнения операции вычитания – в обратном или дополнительном коде,

3. Выполнить необходимые вычисления.

Решение:

1. Переводим исходные данные в двоичную систему счисления:

А₁₀=31 А₂=11111

В₁₀=23 В₂=10111

2. Запишем исходные данные в прямом, обратном и дополнительном кодах. Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном коде записываются одинаково – 0 в знаковом разряде, далее двоичный код числа (при переводе не забываем про разрядность чисел – они занимают в памяти 1 байт, т.е. под число отводится 8 разрядов):

А_ПК=А_ОК=А_ДК=0:0011111

В_ПК=В_ОК=В_ДК=0:0010111

3. Теперь запишем отрицательные значения исходных чисел в прямом, обратном и дополнительном кодах.

При записи отрицательного числа в прямом коде помещаем 1 в знаковый разряд:

-А_ПК==1:0011111 -В_ПК=1:0010111

При переводе отрицательного числа в обратный код инвертируем цифры числа, представленного в прямом коде. При инверсии исключаем знаковый разряд:

-А_ОК==1:1100000 -В_ОК=1:1101000

Для получения дополнительного кода отрицательного числа прибавляем к числу, записанному в обратном коде, единицу:

-А_ДК==1:1100001 -В_ДК=1:1101001

4) Теперь выполним необходимые вычисления:

С_ПК=С_ОК=С_ДК=А_ПК+В_ПК

0:0011111

0:0010111

0:0110110

С_ПК=С_ОК=С_ДК=0:0110110

Выполним проверку полученного результата: С₁₀=31+23=54, это С₂=110110. Результат получен правильно.

2) Вычисляем D=А-В=А+(-В), т.е. от операции вычитания переходим к операции сложения. Отрицательные значения обрабатываются только в обратном и дополнительном кодах.

А_ОК=А_ДК=0:0011111

-В_ОК=1:1101000 -В_ДК=1:1101001

D_ОК=А_ОК+(-В_ОК) D_ДК=А_ДК+(-В_ДК)

0:0011111 0:0011111

1:1101000 1:1101001

0:0000111 0:0001000 – единица переноса игнорируется

1 - единица переноса из знакового разряда

0:0001000

Получили D_ОК=D_ДК=0:0001000. Т.к, получилось положительное число, то обратный и дополнительный код совпадают.

Выполним проверку полученного результата: D₁₀=31-23=8, это D₂=1000. Результат получен правильно.

4. Вычисляем E=(–А)+В, от операции вычитания переходим к операции сложения. Отрицательные значения обрабатываются только в обратном и дополнительном кодах.

-А_ОК=1:1100000

-А_ДК=1:1100001

В_ПК=В_ОК=В_ДК=0:0010111

E_ОК=(–А_ОК)+В_ОК E_ДК=(–А_ДК)+В_ДК

1:1100000 1:1100001

0:0010111 0:0010111

1:1110111 1:1111000

Получили

E_ОК=1:1110111

E_ДК=1:1111000

Выполним проверку полученного результата Е₁₀=-31+23=-8

E₂=-1000

E_ПК=1:0001000

E_ОК=1:1110111

E_ДК=1:1111000

Результат получен правильно.

5. F=(-А)+(-В). От операции вычитания переходим к операции сложения. Отрицательные значения обрабатываются только в обратном и дополнительном кодах.

-А_ОК==1:1100000 -В_ОК=1:1101000

-А_ДК==1:1100001 -В_ДК=1:1101001

F_ОК=(–А_ОК)+(-В_ОК) F_ДК=(–А_ДК)+(-В_ДК)

1:1100000 1:1100001

1:1101000 1:1101001

1:1001000 1:1001010 – единица переноса

………….1 - единица переноса игнорируется

1:1001001

Получили

F_ОК=1:1001001

F_ДК=1:1001010

Выполним проверку полученного результата F₁₀=-31-23=-54

F₂=-110110

F_ПК=1:0110110

F_ОК=1:1001001

F_ДК=1:1001010

Результат получен правильно.