Критерии знакоопределённости квадратичной формы: Критерий собственных значений матрицы:
Приведём квадратичную форму к каноническому
виду:
,
тогда для всех х – у не равно нулю,
так как квадрат не нулевых чисел больше
нуля. Ответственность за знак квадратичной
формы несу её коэффициенты.
-
Если все собственные значения больше нуля, то квадратичная форма тоже больше нуля.
-
Если все собственные значения меньше нуля, то квадратичная форма тоже меньше нуля.
-
Если все собственные значения больше, либо равны нулю, то квадратичная форма тоже меньше нуля.
-
Если некоторые собственные значения равны нулю, а остальные меньше, то квадратичная форма отрицательно полу определена.
-
Если некоторые собственные значения больше нуля, а остальные меньше, то квадратичная форма может иметь любой знак.
Знакоопределённость квадратичной формы совпадает со знаками собственных значений её матрицы, то есть критерий собственных значений является полным, но трудоёмким, так как для вычисления собственных значений необходимо решить характеристическое уравнение матрицы.
Критерий Сильвестра:
Критерий Сильвестра позволяет выделить положительную и отрицательную знакоопределённость квадратичной формы с помощью вычисления нескольких определителей, являющихся угловыми минорами квадратичной формы.
После вычисления миноров суждение о знакоопределенности квадратичной формы выносится по следующему правилу:
-
Если все угловые миноры положительны, то квадратичная форма положительно определена.
-
Если угловые миноры чередуются знаком, начиная с минуса, то есть:
,то
квадратичная форма отрицательно
определена. -
Если идёт чередование знаков, начиная с плюса, или любое другое сочетание знаков, или существуют миноры, равные нулю (последний минор не равен нулю), то форма знака неопределенна.
-
Если последний минор равен нулю, в этом случае критерий Сильвестра не различает знакоопределённости формы, и необходимо использовать другой критерий.
Это свидетельствует о грубости метода.
Для заметок
1 Для вычисления разности необходимо умножить вычитаемое на минус единицу и сложить получившиеся компоненты.
2 Порядки матриц считаются согласованными, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
3 Единичным называется такой вектор, который имеет единичную и колиниарен (параллелен) данному.
4 Комплонарные вектора – вектора, лежащие в одной плоскости, или в параллельных плоскостях
5 Тройка векторов называется правой, если из третьего вектора кротчайший поворот от первого ко второму виден, как поворот против часовой стрелки.
—