
- •Содержание:
- •Вопрос № 1: Матрица, виды матриц:
- •Частные виды матриц:
- •Операции над матрицами:
- •Правило Крамара:
- •Доказательство:
- •Вопрос № 7: Линейная зависимость и независимость строк и столбцов матрицы:
- •Свойства.
- •Теорема о ранге.
- •Вопрос № 9: Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров:
- •Достаточное условие:
- •Вопрос № 12: Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных:
- •Прямой ход метода:
- •Свойства.
- •Свойства.
- •Свойства собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Вопрос № 16: Нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Вопрос № 17: Линейные операции над векторами:
- •Векторная алгебра:
- •Свойства.
- •Свойства.
- •Свойства векторного произведения:
- •Вопрос № 20: Смешанное произведение векторов:
- •Свойства.
- •Свойства смешанного произведения:
- •Вопрос № 21: Прямая на плоскости:
- •Вопрос № 26: Поверхности второго порядка:
- •Вопрос № 27: Поверхности второго порядка:
- •Цилиндроиды:
- •Вопрос № 28: Квадратичная форма многих переменных и её матрица:
- •Условия приведения квадратной матрицы к диагональному виду:
- •Понятие об ортогонально матрице:
- •Процедура Шмидта ортогонализации матриц:
- •Доказательство:
- •Приведение квадратичной формы к каноническому виду:
- •Вопрос № 29: Знакоопределённые квадратичные формы многих переменных:
- •Критерии знакоопределённости квадратичной формы: Критерий собственных значений матрицы:
- •Критерий Сильвестра:
-
Скалярное произведение векторов.
-
Свойства.
-
Применение.
-
Выражение через координаты сомножителей.
-
Проекция вектора на вектор:
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Свойства:
-
– Коммутативность.
-
-
-
-
Скалярное произведение векторов, заданных своими декартовыми координатами равно сумме по парных произведений соответствующих координат сомножителей.
Применение скалярного произведения:
-
-
Определение перпендикулярности векторов, как скалярное произведение, равное нулю.
-
-
Вопрос № 19: Векторное произведение векторов:
-
Векторное произведение векторов.
-
Свойства.
-
Геометрический смысл.
-
Выражение через координаты сомножителей.
-
Векторным произведением векторов
называется вектор, обозначаемый
,
который обладает двумя свойствами:
-
Перпендикулярен двум исходным векторам.
-
Составляет с исходными векторами правую тройку5
-
Направление результирующего вектора определяется по правилу буравчика.
Свойства векторного произведения:
-
– проверка на колиниарности.
-
-
-
-
-
Вопрос № 20: Смешанное произведение векторов:
-
Смешанное произведение векторов.
-
Свойства.
-
Геометрический смысл.
-
Выражение через координаты сомножителей.
-
Смешанным произведением трёх векторов
называется число, обозначаемое
,
равное скалярному произведению трёх
его сомножителей, на векторное произведение
двух первых.
-
0, когда
, а значит угол v – острый, следовательно, вектора составляют правую тройку.
-
0, когда
, а значит угол v – тупой, следовательно, вектора составляют левую тройку.
-
Свойства смешанного произведения:
-
=0 тогда, когда
комплонарны.
-
-
Вопрос № 21: Прямая на плоскости:
-
Прямая на плоскости.
-
Уравнения.
-
Общее.
-
Параметрическое.
-
Каноническое.
-
-
Расстояние до точки.
-
Угол между прямыми.
-
На плоскости задана прямоугольная декартова система координат.
Уравнение
называется
уравнением линии L на
плоскости, если координаты всех точек
линии подчиняются закону F,
а координаты всех точек, не лежащих на
линии
.
Линия – это геометрическое место точек,
координаты которых удовлетворяют закону
–
основное уравнение прямой на плоскости.
Векторное уравнение прямой на плоскости:
Параметрическое уравнение прямой на плоскости:
Каноническое уравнение прямой на плоскости:
Расстояние от точки до прямой:
Угол между прямыми:
Вопрос № 22: Плоскость в пространстве:
-
Плоскость в пространстве.
-
Уравнение:
-
Общее.
-
Параметрическое.
-
Каноническое.
-
-
Расстояние до точки.
-
Угол между плоскостями.
-
Общее уравнение плоскости в пространстве:
Параметрическое уравнение прямой:
Векторное уравнение плоскости в пространстве:
Расстояние от точки до плоскости:
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:
Угол между прямой и плоскостью:
Углом между прямой и плоскостью называется
любой смежный угол, образованный самой
прямой и проекцией этой прямой на
плоскости:
Вопрос № 23: Прямая в пространстве:
-
Прямая в пространстве.
-
Уравнение.
-
Общее.
-
Параметрическое.
-
Каноническое.
-
Переходы между ними.
-
-
Угол между прямыми.
-
Угол между прямой и плоскостью.
-
Общее уравнение прямой в пространстве:
Общее уравнение прямой в пространстве выводится из условия задания прямой, как пересечения двух плоскостей:
Параметрическое уравнение прямой:
Каноническое уравнение прямой:
Угол между прямыми:
Угол между прямой и плоскостью:
Вопрос № 24: Три типа взаимного расположения прямых в пространстве:
-
Три типа расположения двух прямых в пространстве:
-
Параллельные прямые.
-
Пересекающиеся.
-
Скрещивающиеся прямые.
-
-
Расстояния:
-
Между точкой и прямой.
-
Между параллельными прямыми в пространстве.
-
Между скрещивающимися прямыми в пространстве.
-
Параллельные прямые в пространстве:
Пересекающиеся прямые в пространстве:
Скрещивающиеся прямые:
Вопрос № 25: Кривые второго порядка:
-
Кривые второго порядка.
-
Типы.
-
Геометрические определения
-
Канонические уравнения.
-
-
-
Общее уравнение.
-
Преобразование к каноническому.
-
Перенос начала координат.
-
Поворот осей.
-
-
Кривой второго порядка называется
алгебраическая линия второй степени,
общее уравнение которой имеет следующий
вид:
.
Любые уравнения такого вида можно
привести к каноническому виду.
Кривые второго порядка подразделяются на Эллипс, Гиперболу и Параболу.
Эллипс:
Эллипсом
называется геометрическое место точек
плоскости, сумма расстояний каждой из
которых до двух заданных фокусов есть
величина постоянная
Эксцентриситет:
Эксцентриситет характеризует степень
сжатия
Коэффициент сжатия:
Параметрическое уравнение эллипса:
Оптические свойства:
Если взять эллиптическое зеркало, и в один из фокусов поместить источник света, то отражённые лучи пересекутся в другом фокусе.
Гипербола:
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых до двух заданных фокусов, находящихся на расстоянии 2с является величиной постоянной, равной 2а.
Эксцентриситет:
Оптические свойства:
Гиперболическое зеркало даёт расходящийся пучок света.
Парабола:
Параболой
называется геометрическое место точек
плоскости, каждая из которых равноудалена
от заданной точки – фокуса, и заданной
прямой, называемой директрисой, причём
расстояние от точки до прямой равно
р:
Приведение кривой к каноническому виду:
Приведение общего уравнения второго порядка к каноническому виду производится в два действия:
-
Определение новой системы координат, оси которой повёрнуты относительно основной. Поворот определяется слагаемыми, представляющими собой произведение переменных.
-
Сдвиг начала координат вдоль осей новой системы. Сдвиг определяется линейными членами уравнения. Преобразование на данной стадии осуществляется выделением полных квадратов.
–
квадратичная форма.
Приведение квадратичной формы к
взвешенной сумме квадратов:
!!!¿¿¿