1. Однородная система линейных алгебраических уравнений.

   1. Свойства.

2. Теорема о существовании линейно независимых решений.

   1. Доказательство.

Система называется однородной, если все свободные члены равны нулю.

Однородная система всегда совместна. Существует только одно решение.

Теорема о существовании не нулевых решений однородной системы:

Однородная система имеет не нулевые решения тогда, когда ранг матрицы коэффициентов меньше числа неизвестных.

Доказательство:

Не единственность решения

Однородная система с одинаковым количеством уравнений и неизвестных имеет не нулевые решения тогда, когда определитель матрицы коэффициентов не равен нулю.

Теорема:

Любая линейная комбинация решений однородной системы сама является её решением:

Доказательство:

Пусть существуют два решения,

Теорема о существовании линейно независимых решений:

Путь ранг системы равен рангу матрицы коэффициентов и меньше числа неизвестных, тогда существует число линейно независимых решений, равное разности количества переменных и ранга системы.

Доказательство:

Пусть базисный минор содержится в левом верхнем углу матрицы.

Строки, не входящие в базисный минор можно отбросить, а свободные неизвестные перенести через знак равенства.

Вопрос № 14: Фундаментальная система решений однородной системы уравнений:

1. Фундаментальная система решений однородной системы уравнений.

2. Структура общего решения однородной и не однородной системы уравнений.

Структура общего решения однородной системы уравнений:

ФСР называется система из n-r линейно независимых частных решений

Теорема: Общее решение однородной системы уравнений:

Общим решением однородной системы линейных уравнений является линейная комбинация столбцов фундаментального решения.

Структура общего решения не однородной системы уравнений:

Рассмотрим систему линейных уравнений: Неоднородная система , однородная система:

Теорема:

Разность двух решений неоднородной системы является решением соответствующей однородной системы.

Доказательство:

Пусть столбец α является решением неоднородной системы , β – решение системы , тогда после вычитания одного из другого получим: удовлетворяет однородной системе. Из теоремы следует, что общее решение однородной системы является суммой какого-либо её частного решения и общего решения соответствующей однородной системы

Вопрос № 15: Собственные векторы и собственные значения матрицы:

1. Собственные векторы матрицы.

2. Собственные значения матрицы.

   1. Определение.

   2. Свойства.

Арифметическим собственным вектором квадратной матрицы А порядка п называется такой не нулевой столбец: , где λ – собственной значение матрицы.

У каждой матрицы может быть пара из собственных векторов и собственных значений.

Множество всех собственных значений матрицы называется спектром. – ненулевые решения однородной системы уравнений.

Однородная система имеет ненулевые решения, если ранг матрицы В равен количеству коэффициентов.

– характеристическое уравнение матрицы А.

Проверить!!!¿¿¿

Рациональное алгебраическое уравнение степени N. Всегда имеет N корней, среди которых могут быть и кратные. Проверить!!!¿¿¿

Если определитель матрицы А равен нулю, то характеристический многочлен не содержит свободных членов.

У вырожденной матрицы хотя бы одно значение равно нулю. ¿¿¿

…???

При этом сами фундаментальные решения образуют систему линейно независимых уравнений.