Достаточное условие:
Применим правило Крамара к произвольной
системе.
Пусть система
совместна,
тогда ранг расширенной матрицы равен
рангу матрицы коэффициентов, тогда
переставим уравнения системы, и
перенумеруем переменные так, что бы
базисный минор стоял в левом верхнем
углу.
Назовём базисными те переменные, которые входят в базисный минор, а все остальные – свободными.
Тогда по теореме о базисном миноре нижние строки расширенной матрицы являются линейно зависимыми от первых строк, то есть могут быть представлены, как их линейные комбинации, следовательно, они являются лишними и могут быть отброшены. В результате остаётся система с r уравнениями и тем же количеством неизвестных, где r – ранг системы, или ранг базисного минора.
Перенесём свободные переменные направо,
тогда получится система следующего
вида:
,
тогда у этой укороченной системы
определитель
.
Число уравнений равно числу неизвестных,
следовательно, к этой системе можно
применить правило Крамара.
,
,
таким образом правило Крамара позволяет
выразить базисные элементы через
свободные. В результате придавая
свободным переменным значения:
,
где С – произвольное действительное
число.
.
Отсюда следует:
–
множество решений системы уравнений
содержит n-r
произвольных постоянных, то есть является
многопараметрическим.
Частный случай, когда ранг системы равен рангу матрицы коэффициентов, тогда все переменные являются базисными, значит свободных нет, а система имеет единственное решение.
Система линейных алгебраических уравнений имеет одно единственное решение, если она совместна, и её ранг равен количеству переменных.
Вопрос № 12: Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных:
-
Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных.
-
Матричная форма записи.
-
Прямой и обратный ход.
-
Метод последовательного исключения неизвестных заключается в решении системы алгебраических уравнений с одновременным исследованием её на совместность.
Метод реализуется в два этапа:
Прямой ход метода:
Прямой ход метода Гаусса заключается в преобразовании расширенной матрицы коэффициентов системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований, то есть как при нахождении ранга матрицы и базисного минора, но только со строками матрицы. При этом само преобразование к ступенчатому виду с помощью нескольких шагов, на каждом из которых исключается одна переменная, то есть обнуляется нижний элемент одного из столбцов.
В результате выполнения нескольких шагов матрица оказывается приведённой к ступенчатому виду. На этом этапе можно определить ранг матрицы и системы.
Если ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов, то система считается совместной, в противном случае система не совместна.
Если количество уравнений равно количеству неизвестных, то система имеет единственное решение, если ранг системы меньше числа неизвестных, то количество решений бесконечно.
Обратный ход метода:
Если решение единственно:
Вопрос № 13: Однородная система линейных алгебраических уравнений: