2.3. Указания к заданию 3
2.3.1. Основные теоретические положения
При вычислении пределов необходимо помнить их свойства:
если существуют
конечные
,
то
1.
т.е. предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций.
Замечание:
Если
,
то это свойство не верно и имеем
неопределенность
.
2.
т.е. предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций.
Замечание:
Если
,
то это свойство не верно и имеем
неопределенность
.
Если
где
то
т.е. постоянный множитель можно выносить за знак предела.
3.
т.е. предел частного двух функций есть частное пределов этих функций.
Замечание:
Если
или А=0, В=0, то это свойство не верно и
имеем неопределенность
или
.
4.
.
Замечание:
Если
,
или
,
или
,
то это свойство не верно и имеем
неопределенность
,
или
или
.
Первый замечательный предел
,
неопределенность
.
Следствия:
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5.
,
6.
7.
.
Второй замечательный предел
,
неопределенность
,
.
Следствия:
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5.
,
6.
.
Некоторые типы пределов
При вычислении
предела вида
можно выделить три случая:
1 случай: степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя (n < m), то такой предел равен 0;
2 случай: степень многочлена числителя больше степени многочлена знаменателя (n > m), то такой предел равен ;
3 случай: степени многочленов числителя и знаменателя равны (n=m), то такой предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.
2.3.2. Пример выполнения задания 3
а)
.
Подставляя вместо
переменной
,
получим неопределенность вида
,
которая легко раскрывается, если и
численность и знаменатель разложить
на множители. Для разложения числителя
найдем корни уравнения
,
Используя формулу
получаем
Выражение
раскладывается как разность кубов, т.е.
.
Таким образом, получим
б)
.
Имеем
неопределенность вида
.
Чтобы ее раскрыть, вынесем и в числители
и в знаменателе переменную в большей
степени, т.е.
,
за скобку, получим
в)
г)
д)
е)
2.4. Указания к заданию 4
2.4.1. Основные теоретические положения
Для непрерывности
функции f(x)
в точке
необходимо и достаточно выполнение
условий:
-
функция f(x) должна быть определена в точке
,
т.е. можно вычислить значение
; -
должны существовать и быть конечными односторонние пределы
-
.
Если все эти три
условия выполнены, то
точка непрерывности функции f(x).
Точки разрыва
функции можно разделить на устранимый
разрыв, точки разрыва первого и второго
рода. У точек разрыва первого рода
односторонние пределы должны существовать,
быть конечными, но не равными друг другу.
Если хотя бы один из односторонних
пределов не существует или равен ,
то
есть точки разрыва второго рода.
2.4.2.Пример выполнения задания 4
Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
Решение.
Функция f(x)
определена и непрерывна на интервалах
,
где она задана непрерывными элементарными
функциями. Следовательно, разрыв возможен
только в точках
и
Для точки
имеем:
т.е. функция f(x)
в точке
имеет разрыв первого рода.
Для точки
находим:
т.е. функция f(x)
в точке
также имеет разрыв первого рода, т.к.
односторонние пределы конечны, но не
равны.
Построим график
