Лабораторная работа №1

ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ ЧЕРЕЗ ПОКАЗАТЕЛИ

КОВАРИАЦИИ И КОРРЕЛЯЦИИ.

Цель: освоение методики расчета показателей выборочной вариации и ковариации, выборочного и теоретического коэффициента корреляции.

1.Краткая теоретическая часть.

Основные понятия, определения, формулы.

Выборочная ковариация

Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными. Показатель выборочной ковариации позволяет выразить данную связь единым числом. При наличии n наблюдений двух переменных (х и y) выборочная ковариация между х и y задается формулой:

Основные правила расчета ковариации

1. Если y= + w, то Cov (х, y) = Cov (х, ) + Cov (х, w).

2. Если y=az, где а - константа, то Cov(х,y)=a Cov(х,z.).

3. Если y = а, где a - константа, то Cov (х, y) = 0.

Пользуясь этими основными правилами, можно упрощать значительно более сложные выражения с ковариациями.

Альтернативное выражение для выборочной ковариации

Выборочная ковариация между х и y определяется как

Другим эквивалентным выражением является

Теоретическая ковариация

Если х и y— случайные величины, то теоретическая ковариация определяется как математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их средних значений:

рор.соv(х,y)=_xy =M{(x-_x)(y-_y)}, (4)

где _x, и _y - теоретические средние значения х и y соответственно.

Если теоретическая ковариация неизвестна, то для ее оценки может быть использована выборочная ковариация, вычисленная по ряду наблюдений. Оценка будет иметь отрицательное смещение, так как

(5)

Если х и y независимы, то их теоретическая ковариация равна нулю, поскольку

(6)

благодаря свойству независимости, и факту, что Е(х) и Е (y) равняются соответственно _x, и _y.

Выборочная дисперсия

Для выборки из n наблюдений х₁ ,..., х_n выборочная дисперсия определяется как среднеквадратичное отклонение в выборке:

(7)

Выборочная дисперсия представляет собой смещенную оценку теоретической дисперсии. S² определенная как

является несмещенной оценкой ². Отсюда следует, что ожидаемое значение величины Var(x) равно [(n - 1)/n]  ² и что, следовательно, она имеет отрицательное смещение. Отметим, что если размер выборки n становится большим, то (n-1)/n стремится к единице и, таким образом, математическое ожидание величины Var(х) стремится к ². Ее предел по вероятности (plim) равен ² и, следовательно, она является примером состоятельной оценки, которая смещена для небольших выборок.

Правила расчета дисперсии

Правила для расчета дисперсии, являются аналогами правил для ковариации. Они используются как для выборочной, так и для теоретической дисперсии.

1. Если , то

2. Если где а является постоянной, то

3. Если y=а, где а является постоянной, то Var(y) = 0.

4. Если y = +а, где а является постоянной, то Var(y) = Var().

Заметим, что дисперсия переменной х может рассматриваться как ковариация между двумя величинами х:

(8)

Используя соотношение (3) для выборочной ковариации, получим:

(9)

Теоретическая дисперсия выборочного среднего

Если две переменные независимы (и следовательно, их совокупная ковариация равняется нулю), то теоретическая дисперсия суммы этих переменных будет равна сумме их теоретических дисперсий:

pop. var (х + y) = pop. var (х) + pop. var (y) + 2 pop. cov (x, y) = = pop. var (x) + pop. var (y) =_x²+_y². (10)

Следовательно, теоретическая дисперсия суммы любого числа переменных равняется сумме их дисперсий при условии, что наблюдения независимы друг от друга. Если случайная переменная х имеет дисперсию ², то дисперсия выборочного среднего х будет равна ²/n, где n - число наблюдений в выборке:

Выборочное среднее является наиболее эффективной несмещенной оценкой теоретического среднего при условии, что наблюдения проводятся независимо друг от друга на основе одного и того же распределения.

Коэффициент корреляции

Более точной мерой зависимости является тесно связанный с ней коэффициент корреляции.

Подобно дисперсии и ковариации, коэффициент корреляции имеет две формы - теоретическую и выборочную. Для переменных х и y теоретический коэффициент корреляции определяется следующим образом:

(12)

Если х и y независимы, то  равно нулю, так как равна нулю теоретическая ковариация. Если между переменными существует положительная зависимость, то _xy , а следовательно, и _xy, будут положительными. Если существует строгая положительная линейная зависимость, то _xy примет максимальное значение, равное 1. Аналогичным образом при отрицательной зависимости _xy будет отрицательным с минимальным значением –1.

Выборочный коэффициент корреляции r определяется путем замены теоретических дисперсий и ковариации в выражении (12) на их несмещенные оценки. Такие оценки могут быть получены умножением выборочных дисперсий и ковариации на n/(n- 1). Следовательно,

(13)

Множители n/(n-1) сокращаются, поэтому можно определить выборочную корреляцию как

(14)

Подобно величине р, r имеет максимальное значение, равное единице, которое получается при строгой линейной положительной зависимости между выборочными значениями х и y (когда на диаграмме рассеяния все точки находятся точно на восходящей прямой линии). Аналогичным образом r принимает минимальное значение —1, когда существует линейная отрицательная зависимость (точки лежат точно на нисходящей прямой линии). Величина r = 0 показывает, что зависимость между наблюдениями х и y в выборке отсутствует. Разумеется, тот факт, что r=0, необязательно означает, что р=0, и наоборот.