2. Указания к решению типового варианта

2.1. Пример выполнения задания 1

1. Дана система линейных уравнений

Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее: а) методом Крамера, б) с помощью обратной матрицы

Решение: Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы данной системы

и ранг расширенной матрицы

.

Для этого умножим первую строку матрицы на (2) и сложим со второй, затем умножим первую строку на (3) и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбец. Получим

.

Следовательно, , т.е. система совместна. Так как (т.е. числу неизвестных), то система линейных уравнений имеет единственное решение.

а) по формулам Крамера решение системы имеет вид

где   главный определитель системы,

 вспомогательные определители , у которых j-й столбец заменен столбцом свободных членов

Находим

Таким образом,

б) Для нахождения решения системы матричным методом, запишем систему линейных уравнений в матричной форме.

Если обозначить

 матрицу коэффициентов при неизвестных;

 столбец свободных членов;

 столбец неизвестных,

то систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения:

.

Решение системы в матричной форме имеет вид

.

Найдем обратную матрицу по формуле

,

Она существует, так как

Найдем алгебраические дополнения:

;

;

;

;

;

;

;

;

,

.

Решение системы:

Получили,

2.2. Пример выполнения задания 2

Даны точки: А₁(4; 7; 8), А₂(1; 13; 0), А₃(2; 4; 9), А₄(1; 8; 9).

Составить:

1) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

2) уравнение прямой А₁А₂;

3) прямой А₄М, перпендикулярной к плоскости ;

Вычислить:

4) синус угла между прямой А₁А₄ и плоскостью ;

5) площадь основания А₁А₂А₃;

6) объем тетраэдра А₁А₂А₃А₄.

Решение:

1) уравнение плоскости имеет вид

,

Раскроем определитель третьего порядка

Раскрыв скобки и упростив, получим уравнение плоскости

где нормальный вектор плоскости имеет вид: .

2) уравнение прямой  это уравнение прямой, проходящей через две точки

где направляющей вектор прямой имеет вид .

3) из условия перпендикулярности прямой и плоскости следует, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости . Тогда уравнение прямой запишется в виде

4) синус угла между прямой А₁А₄ и плоскостью есть угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости :

5) известно, что . Находим

,

,

Тогда имеем:

.

6. Поскольку , то

(куб.ед.)