5 Методические указания к выполнению

КУРСОВОЙ РАБОТЫ

5.1 Классический метод анализа переходных процессов

Классический метод анализа переходных процессов в электрической цепи основан на использовании неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, выражающих законы Кирхгофа [3]:

(5.1)

Решение уравнения (5.1) представляет собой сумму общего решения однородного уравнения:

(5.2)

и частного решения неоднородного уравнения (5.1). Общее решение уравнения (5.2) описывает свободную составляющую переходного процесса , частное решение уравнения (5.1) – принужденную составляющую Таким образом, переходной процесс складывается из свободной и принужденной составляющих:

Свободная составляющая переходного процесса определяется только свойствами цепи и не зависит от вида входного воздействия. Для ее нахождения записывают и решают характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (5.2):

(5.3)

Если – корни характеристического уравнения (5.3), причем, среди них нет равных, то решение уравнения (5.2) запишется в виде:

(5.4)

где А₁,…,А_n – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями.

Из выражения (5.4) видно, что свободная составляющая состоит из n линейно независимых слагаемых.

Если k корней характеристического уравнения равны между собой:

то решение однородного уравнения запишется в виде:

(5.5)

Решение (5.5) справедливо и в случае k=n.

Если одна или несколько пар корней уравнения (5.3) является комплексно сопряженными и не равны друг другу:

то решение будет содержать слагаемые вида:

где – собственные частоты и собственные затухания составляющих, определяемые параметрами цепи.

Общее решение x_св(t) будет иметь в этом случае следующий вид:

(5.6)

Величины А_k, A_k+2 и , находятся, исходя из начальных условий.

Если какая-либо пара комплексно сопряженных корней имеет кратность k (k пар комплексно сопряженных корней равны между собой), то соответствующие k пар членов в формуле (5.4) заменяются слагаемыми

,

где постоянные интегрирования с₁, с₂,…,с_k и b₁, b₂,…,b_k определяются из начальных условий.

Принужденная составляющая определяется как отклик цепи на входное воздействие при , когда свободная составляющая практически затухает. Вид принужденной составляющей определяется входным воздействием В том частном случае, когда есть величина постоянная, равная , частное решение находится из равенства:

(5.7)

Для определения частного решения уравнения (5.1) при других видах входного воздействия необходимо воспользоваться известными методами решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [6].

Постоянные интегрирования определяются после нахождения частного решения уравнения (5.1) и общего решения уравнения (5.2) по известным начальным условиям. В качестве независимых начальных условий используются величины токов индуктивностей и напряжений на емкостях в момент времени t=0, т.е. В качестве зависимых начальных условий используются значения производных токов и напряжений в момент времени t=0.